Най-важното от урока
Ключови изводи:
1. Приеми работата за 1: Винаги започвай, като приемаш цялата задача (работа, басейн, проект) за единица.
2. Намери производителността: Ако някой свършва работата за време \(T\), неговата производителност е \(\frac{1}{T}\) за единица време.
3. Състави уравнение: Сборът от свършената работа от всеки участник трябва да е равен на 1.
Пример за съвместна работа: \( \frac{x}{T_1} + \frac{x}{T_2} = 1 \)
Пример за последователна работа: \( \frac{\text{време на първия}}{T_1} + \frac{\text{време на втория}}{T_2} = 1 \)
4. Разпределяй парите пропорционално: Заплащането е равно на частта от свършената работа, умножена по общата сума.
1. Приеми работата за 1: Винаги започвай, като приемаш цялата задача (работа, басейн, проект) за единица.
2. Намери производителността: Ако някой свършва работата за време \(T\), неговата производителност е \(\frac{1}{T}\) за единица време.
3. Състави уравнение: Сборът от свършената работа от всеки участник трябва да е равен на 1.
Пример за съвместна работа: \( \frac{x}{T_1} + \frac{x}{T_2} = 1 \)
Пример за последователна работа: \( \frac{\text{време на първия}}{T_1} + \frac{\text{време на втория}}{T_2} = 1 \)
4. Разпределяй парите пропорционално: Заплащането е равно на частта от свършената работа, умножена по общата сума.
При решаване на задачи от работа, чието количество е неизвестно, приемаме условно, че цялата работа е равна на едно цяло (1). Всички изчисления се правят спрямо тази единица.
Ако една тръба трябва да напълни басейн, приемаме, че обемът на целия басейн е 1. Ако един работник трябва да боядиса ограда, приемаме, че цялата ограда е 1.
Един работник е извършил половината от възложената му работа. Каква част от работата (като дроб) е това?
Отговор: \( \frac{1}{2} \) от работата.
Производителността показва каква част от цялата работа (1) се извършва за единица време (час, ден и т.н.).
Ако един работник свършва цялата работа за време \(T\), неговата производителност за единица време е \( \frac{1}{T} \).
Работник може сам да свърши дадена работа за 15 дни. Неговата производителност за 1 ден е \( \frac{1}{15} \) от работата.
Ако тръба пълни басейн за 10 часа, нейната производителност за 1 час е \( \frac{1}{10} \) от обема на басейна.
Ако тръба пълни басейн за 10 часа, нейната производителност за 1 час е \( \frac{1}{10} \) от обема на басейна.
Перална машина изпълнява една програма за 45 минути. Каква част от програмата изпълнява за 1 минута?
Отговор: \( \frac{1}{45} \) част от програмата.
Когато двама или повече души (или машини) работят заедно, общата свършена работа е сбор от работата, която всеки от тях е извършил.
Ако двама работници (с производителност \( \frac{1}{T_1} \) и \( \frac{1}{T_2} \)) работят заедно в продължение на \(x\) дни, за да свършат цялата работа (1), уравнението е:
\[ \frac{1}{T_1} \cdot x + \frac{1}{T_2} \cdot x = 1 \quad \text{или} \quad \frac{x}{T_1} + \frac{x}{T_2} = 1 \]
Първа тръба пълни басейн за 15 часа (произв. \( \frac{1}{15} \)), а втора - за 10 часа (произв. \( \frac{1}{10} \)). За колко часа \(x\) ще напълнят басейна заедно?
Уравнението е: \( \frac{x}{15} + \frac{x}{10} = 1 \).
\( \frac{2x + 3x}{30} = 1 \implies 5x = 30 \implies x = 6 \) часа.
\( \frac{2x + 3x}{30} = 1 \implies 5x = 30 \implies x = 6 \) часа.
Иван боядисва ограда за 4 часа, а Петър - за 12 часа. За колко часа ще я боядисат заедно?
Нека \(x\) е времето за съвместна работа.
\[ \frac{x}{4} + \frac{x}{12} = 1 \]
\[ \frac{3x + x}{12} = 1 \implies 4x = 12 \implies x = 3 \]
Отговор: За 3 часа.
Ако участниците работят по различно време или един след друг, уравнението се съставя, като се събере работата на всеки, изчислена спрямо неговото индивидуално работно време.
Тръба 1 (произв. \( \frac{1}{12} \)) работи 3 часа сама, а след това към нея се включва тръба 2 (произв. \( \frac{1}{6} \)) за още \(x\) часа. Общото време за тръба 1 е \(3+x\), а за тръба 2 е \(x\).
Уравнението е: \( \frac{3+x}{12} + \frac{x}{6} = 1 \), което дава \(x=3\) часа. Общото време е \(3+3=6\) часа.
Заплащането се разпределя пропорционално на свършената от всеки част от работата.
\( \text{Заплащане} = (\text{Свършена част от работата}) \cdot (\text{Обща сума}) \)
\( \text{Заплащане} = (\text{Свършена част от работата}) \cdot (\text{Обща сума}) \)
Двама работници получили 1200 лв. за свършена работа. Първият е извършил \( \frac{1}{3} \) от нея. Колко лева трябва да получи вторият?
Вторият е свършил \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) от работата.
Неговото заплащане е \( \frac{2}{3} \cdot 1200 = 2 \cdot 400 = 800 \) лв.
Неговото заплащане е \( \frac{2}{3} \cdot 1200 = 2 \cdot 400 = 800 \) лв.
Задачи за упражнение
Лесна: Двама готвачи трябва да обелят чушки. Първият може да свърши сам за 2 часа, а вторият - за 3 часа. За колко време ще обелят чушките, ако работят заедно?
Нека \(x\) е времето за съвместна работа.
\[ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \]
\[ \frac{3x + 2x}{6} = 1 \implies 5x = 6 \implies x = \frac{6}{5} = 1.2 \]
Отговор: За 1.2 часа (1 час и 12 минути).
Средна: Една тръба пълни басейн за 9 часа. След като пълнила 2 часа сама, отворили втора тръба и двете заедно напълнили останалата част от басейна за още 4 часа. За колко часа втората тръба може да напълни басейна сама?
Нека втората тръба пълни басейна сама за \(T\) часа. Производителността ѝ е \( \frac{1}{T} \).
Първата тръба е работила общо \(2+4=6\) часа. Втората е работила 4 часа.
Работата на първата тръба + Работата на втората тръба = 1 \[ \frac{6}{9} + \frac{4}{T} = 1 \] \[ \frac{2}{3} + \frac{4}{T} = 1 \] \[ \frac{4}{T} = 1 - \frac{2}{3} \implies \frac{4}{T} = \frac{1}{3} \implies T = 12 \] Отговор: Втората тръба ще напълни басейна сама за 12 часа.
Първата тръба е работила общо \(2+4=6\) часа. Втората е работила 4 часа.
Работата на първата тръба + Работата на втората тръба = 1 \[ \frac{6}{9} + \frac{4}{T} = 1 \] \[ \frac{2}{3} + \frac{4}{T} = 1 \] \[ \frac{4}{T} = 1 - \frac{2}{3} \implies \frac{4}{T} = \frac{1}{3} \implies T = 12 \] Отговор: Втората тръба ще напълни басейна сама за 12 часа.
Трудна: Трима майстори, А, Б и В, изграждат стена. Сами, те биха я изградили съответно за 8, 12 и 24 дни. Майстор А работил 2 дни сам, след което се присъединил Б и работили заедно още 2 дни. Накрая тримата заедно довършили стената.
а) За колко дни е била изградена цялата стена?
б) Каква сума е получил майстор В, ако за цялата работа са платени 2400 лв.?
а) За колко дни е била изградена цялата стена?
б) Каква сума е получил майстор В, ако за цялата работа са платени 2400 лв.?
Производителности: А: \(\frac{1}{8}\), Б: \(\frac{1}{12}\), В: \(\frac{1}{24}\).
Нека \(x\) е времето, през което тримата са работили заедно.
- Майстор А е работил общо \(2+2+x = 4+x\) дни.
- Майстор Б е работил общо \(2+x\) дни.
- Майстор В е работил \(x\) дни.
Уравнението е: \( \frac{4+x}{8} + \frac{2+x}{12} + \frac{x}{24} = 1 \)
\( 3(4+x) + 2(2+x) + x = 24 \)
\( 12 + 3x + 4 + 2x + x = 24 \)
\( 6x + 16 = 24 \implies 6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) дни.
а) Общото време е \(2+2+x = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}\) дни.
б) Майстор В е работил \(x = \frac{4}{3}\) дни и е свършил \( \frac{x}{24} = \frac{4/3}{24} = \frac{4}{3 \cdot 24} = \frac{1}{18} \) част от работата.
Сумата за него е \( \frac{1}{18} \cdot 2400 = \frac{2400}{18} \approx 133.33 \) лв.
Нека \(x\) е времето, през което тримата са работили заедно.
- Майстор А е работил общо \(2+2+x = 4+x\) дни.
- Майстор Б е работил общо \(2+x\) дни.
- Майстор В е работил \(x\) дни.
Уравнението е: \( \frac{4+x}{8} + \frac{2+x}{12} + \frac{x}{24} = 1 \)
\( 3(4+x) + 2(2+x) + x = 24 \)
\( 12 + 3x + 4 + 2x + x = 24 \)
\( 6x + 16 = 24 \implies 6x = 8 \implies x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) дни.
а) Общото време е \(2+2+x = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}\) дни.
б) Майстор В е работил \(x = \frac{4}{3}\) дни и е свършил \( \frac{x}{24} = \frac{4/3}{24} = \frac{4}{3 \cdot 24} = \frac{1}{18} \) част от работата.
Сумата за него е \( \frac{1}{18} \cdot 2400 = \frac{2400}{18} \approx 133.33 \) лв.
