Най-важното от урока
Ключови правила:
- Ако пред скоба има „+“, просто я премахнете: \((a+b) + (c) = a+b+c\).
- Ако пред скоба има „-“, сменете знаците вътре: \((a+b) - (c-d) = a+b-c+d\).
Алгоритъм на работа:
1. Разкрийте скобите, като внимавате за знаците отпред.
2. Намерете подобните едночлени (тези с еднаква буквена част, напр. \(5x^2\) и \(-2x^2\)).
3. Извършете приведение (съберете/извадете коефициентите им).
Практически съвет: Винаги опростявайте израза докрай, преди да замествате с числа или да търсите свойства.
- Ако пред скоба има „+“, просто я премахнете: \((a+b) + (c) = a+b+c\).
- Ако пред скоба има „-“, сменете знаците вътре: \((a+b) - (c-d) = a+b-c+d\).
Алгоритъм на работа:
1. Разкрийте скобите, като внимавате за знаците отпред.
2. Намерете подобните едночлени (тези с еднаква буквена част, напр. \(5x^2\) и \(-2x^2\)).
3. Извършете приведение (съберете/извадете коефициентите им).
Практически съвет: Винаги опростявайте израза докрай, преди да замествате с числа или да търсите свойства.
Знак „+“ пред скоби: Знакът и скобите се премахват, а членовете в тях запазват знаците си.
\[ (A) + (B - C) = A + B - C \]
Знак „-“ пред скоби: Знакът и скобите се премахват, а членовете в тях променят знаците си с противоположните.
\[ A - (B - C) = A - B + C \]
Изразът \((2x^2+3) - (x^2-5x)\) се преобразува в:
\[ 2x^2+3 - x^2+5x \]
Разкрийте скобите в израза: \(5a - (2a + b) + (-a + 3b)\).
\(5a - 2a - b - a + 3b\)
Събирането и изваждането на многочлени се свежда до разкриване на скоби и извършване на приведение (събиране и изваждане на подобните едночлени).
Поставете многочлените в скоби, като спазвате знаците за събиране и изваждане.
Разкрийте скобите според правилата.
Групирайте и съберете/извадете подобните едночлени (направете приведение).
Дадени са \(u = 2x^2+x+1\) и \(w = x^2-x\).
Да намерим \(u-w\).
\(u - w = (2x^2 + x + 1) - (x^2 - x)= 2x^2 + x + 1 - x^2 + x\) \(= (2x^2 - x^2) + (x + x) + 1= x^2 + 2x + 1\)
Да намерим \(u-w\).
\(u - w = (2x^2 + x + 1) - (x^2 - x)= 2x^2 + x + 1 - x^2 + x\) \(= (2x^2 - x^2) + (x + x) + 1= x^2 + 2x + 1\)
Намерете сбора на многочлените \(A = 3a^2 - 4ab\) и \(B = -a^2 + 2ab\).
\(A+B = (3a^2 - 4ab) + (-a^2 + 2ab)=\)
\(= 3a^2 - 4ab - a^2 + 2ab=\)
\(= (3a^2 - a^2) + (-4ab + 2ab)=\)
\(= 2a^2 - 2ab\)
\(= 3a^2 - 4ab - a^2 + 2ab=\)
\(= (3a^2 - a^2) + (-4ab + 2ab)=\)
\(= 2a^2 - 2ab\)
При задачи, изискващи пресмятане на числена стойност, доказване на свойства или намиране на най-малка/голяма стойност, винаги първо опростявайте израза до нормален вид.
Задача: Да се докаже, че стойността на израза \(A = (5x^2+y) - (3x^2+y+2) - 2x^2\) не зависи от \(x\) и \(y\).
Решение:
\(A = 5x^2 + y - 3x^2 - y - 2 - 2x^2\)
\(A = (5x^2 - 3x^2 - 2x^2) + (y-y) - 2\)
\(A = 0x^2 + 0y - 2 = -2\)
След опростяване се получава константа \((-2)\), което доказва, че стойността на израза не зависи от променливите.
Решение:
\(A = 5x^2 + y - 3x^2 - y - 2 - 2x^2\)
\(A = (5x^2 - 3x^2 - 2x^2) + (y-y) - 2\)
\(A = 0x^2 + 0y - 2 = -2\)
След опростяване се получава константа \((-2)\), което доказва, че стойността на израза не зависи от променливите.
Намерете най-малката стойност на израза \(B = (3x^2 - 5) - (2x^2 - 10)\).
Първо опростяваме:
\(B = 3x^2 - 5 - 2x^2 + 10 = (3x^2 - 2x^2) + (-5 + 10) = x^2 + 5\)
Тъй като \(x^2 \ge 0\) за всяко \(x\), най-малката стойност на \(x^2\) е \(0\) (при \(x=0\)).
Следователно най-малката стойност на израза \(B\) е \(0 + 5 = 5\).
\(B = 3x^2 - 5 - 2x^2 + 10 = (3x^2 - 2x^2) + (-5 + 10) = x^2 + 5\)
Тъй като \(x^2 \ge 0\) за всяко \(x\), най-малката стойност на \(x^2\) е \(0\) (при \(x=0\)).
Следователно най-малката стойност на израза \(B\) е \(0 + 5 = 5\).
Задачи за упражнение
Лесна: Извършете приведение: \((7x^2 - 3x + 1) + (2x - x^2)\).
\(7x^2 - 3x + 1 + 2x - x^2 = (7x^2 - x^2) + (-3x + 2x) + 1 =\)
\(=6x^2 - x + 1\)
\(=6x^2 - x + 1\)
Средна: Опростете израза \(A = 10 - (5xy - 2x) - (7 - (2x + 5xy))\) и пресметнете стойността му при \(x = 5\).
Опростяваме израза:
\(A = 10 - 5xy + 2x - (7 - 2x - 5xy)\)
\(A = 10 - 5xy + 2x - 7 + 2x + 5xy\)
\(A = (2x+2x) + (-5xy+5xy) + (10-7)\)
\(A = 4x + 3\)
Стойността не зависи от \(y\). Заместваме \(x=5\):
\(A = 4\cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23\)
\(A = 10 - 5xy + 2x - (7 - 2x - 5xy)\)
\(A = 10 - 5xy + 2x - 7 + 2x + 5xy\)
\(A = (2x+2x) + (-5xy+5xy) + (10-7)\)
\(A = 4x + 3\)
Стойността не зависи от \(y\). Заместваме \(x=5\):
\(A = 4\cdot 5 + 3 = 20 + 3 = 23\)
Трудна: Покажете, че изразът \(M = (3x^2 - 7x + 5) - (2x^2 - 7x - 1)\) приема само положителни стойности за всяко \(x\).
Опростяваме израза \(M\):
\(M = 3x^2 - 7x + 5 - 2x^2 + 7x + 1\)
\(M = (3x^2 - 2x^2) + (-7x + 7x) + (5+1)\)
\(M = x^2 + 6\)
За всяка реална стойност на \(x\), изразът \(x^2\) е винаги по-голям или равен на \(0\) (\(x^2 \ge 0\)).
Следователно, \(x^2 + 6 \ge 0 + 6\), т.е. \(x^2 + 6 \ge 6\).
Тъй като \(6\) е положително число, изразът \(M\) винаги приема положителни стойности.
\(M = 3x^2 - 7x + 5 - 2x^2 + 7x + 1\)
\(M = (3x^2 - 2x^2) + (-7x + 7x) + (5+1)\)
\(M = x^2 + 6\)
За всяка реална стойност на \(x\), изразът \(x^2\) е винаги по-голям или равен на \(0\) (\(x^2 \ge 0\)).
Следователно, \(x^2 + 6 \ge 0 + 6\), т.е. \(x^2 + 6 \ge 6\).
Тъй като \(6\) е положително число, изразът \(M\) винаги приема положителни стойности.
