Най-важното от урока
Стълбовидна диаграма: Идеална за директно сравняване на стойности. Височината на стълба показва "колко". Пример: Сравнение на броя момчета и момичета с оценка "Добър".
Кръгова диаграма (проценти): Показва как се разпределя едно цяло. Всеки сектор е процент от 100%. Пример: 25% от учениците са с "Мн. добър".
Кръгова диаграма (ъгли): Показва части от цяло чрез ъгли. Целият кръг е \(360^\circ\). Частта се намира чрез съотношението на ъгъла към \(360^\circ\). Пример: Сектор от \(90^\circ\) представлява \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\) (или 25%) от общата стойност.
Кръгова диаграма (проценти): Показва как се разпределя едно цяло. Всеки сектор е процент от 100%. Пример: 25% от учениците са с "Мн. добър".
Кръгова диаграма (ъгли): Показва части от цяло чрез ъгли. Целият кръг е \(360^\circ\). Частта се намира чрез съотношението на ъгъла към \(360^\circ\). Пример: Сектор от \(90^\circ\) представлява \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\) (или 25%) от общата стойност.
Стълбовидната диаграма използва правоъгълни стълбове с височини, пропорционални на стойностите, които представят. Тя е удобна за сравняване на данни между различни групи.
Като използвате същата диаграма, намерете колко общо ученици са получили оценка "Много добър".
Момичета с "Много добър": 18
Момчета с "Много добър": 22
Отговор: Общо \(18 + 22 = 40\) ученици.
Момчета с "Много добър": 22
Отговор: Общо \(18 + 22 = 40\) ученици.
Кръговата диаграма представя части от едно цяло. Целият кръг е 100%. Всеки сектор отговаря на определен процент от общата стойност.
\[ \text{Стойност на част} = \frac{\text{Процент}}{100} \cdot \text{Обща стойност} \]
Ако на изпита са се явили общо 160 ученици, колко от тях са получили оценка "Отличен" (15%)?
Брой отличници = \( \frac{15}{100} \cdot 160 = 0.15 \cdot 160 = 24 \) ученици.
Отговор: 24 ученици.
Отговор: 24 ученици.
В кръговата диаграма целият кръг отговаря на \(360^\circ\). Големината на всеки сектор е пропорционална на централния ъгъл, който заема.
\[ \frac{\text{Стойност на част}}{\text{Обща стойност}} = \frac{\text{Централен ъгъл на сектора}}{360^\circ} \]
От същата диаграма намерете какъв процент от всички разходи е сектор "Транспорт" (\(\angle BOD\)), ако \(\angle BOD : \angle AOD = 3 : 7\).
Ъглите \(\angle BOD\) и \(\angle AOD\) също образуват \(180^\circ\).
Нека \(\angle BOD = 3x\) и \(\angle AOD = 7x\).
\[ 3x + 7x = 180^\circ \implies 10x = 180^\circ \implies x = 18^\circ \]
Следователно \(\angle BOD = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ\).
Процентът е: \(\frac{54^\circ}{360^\circ} \cdot 100\% = 0.15 \cdot 100\% = 15\%\).
Отговор: Разходите за транспорт са 15% от всички разходи.
Отговор: Разходите за транспорт са 15% от всички разходи.
Задачи за упражнение
Лесна: Като използвате сравнителната диаграма от първия пример, намерете колко момчета общо са се явили на изпита.
Събираме стойностите на всички червени стълбове:
Слаб: 4; Среден: 12; Добър: 30; Мн. добър: 22; Отличен: 12.
Общо: \(4 + 12 + 30 + 22 + 12 = 80\) момчета.
Слаб: 4; Среден: 12; Добър: 30; Мн. добър: 22; Отличен: 12.
Общо: \(4 + 12 + 30 + 22 + 12 = 80\) момчета.
Средна: От кръговата диаграма с проценти (втори пример) намерете централния ъгъл на сектора, отговарящ на оценка "Добър" (30%).
Целият кръг е \(360^\circ\).
Ъгълът е 30% от \(360^\circ\): \(\frac{30}{100} \cdot 360^\circ = 0.3 \cdot 360^\circ = 108^\circ\).
Ъгълът е 30% от \(360^\circ\): \(\frac{30}{100} \cdot 360^\circ = 0.3 \cdot 360^\circ = 108^\circ\).
Трудна: В диаграмата на разходите (четвърти пример) разходите за "Настаняване" са с 220 лв. по-малко от тези за "Храна". Намерете общата сума на всички разходи за почивката. (Използвайте намерените ъгли \(\angle AOC=18^\circ\) и \(\angle AOD=7 \cdot 18^\circ=126^\circ\)).
Нека \(X\) е общата сума.
Разходи за Храна (сектор с \(\angle AOC = 18^\circ\)): \( \frac{18}{360} X = 0.05 X \)
Разходи за Настаняване (сектор с \(\angle AOD = 126^\circ\)): \( \frac{126}{360} X = 0.35 X \)
Знаем, че разходите за настаняване са с 220 лв. повече (текстът в оригиналната картинка е "с 220 лв. по-малко от тези за храна", но това води до отрицателни разходи, затова ще приемем обратния случай, който е по-логичен). Ако приемем, че храната е с 220 лв по-малко от настаняването: \[ 0.35X - 0.05X = 220 \] \[ 0.30X = 220 \] \[ X = \frac{220}{0.3} \approx 733.33 \text{ лв.} \] *Бележка: Ако следваме стриктно условието "разходите за настаняване са с 220 лв по-малко от тези за храна", получаваме \(0.05X - 0.35X = 220 \implies -0.3X = 220\), което е невъзможно. Вероятно има грешка в условието на оригиналната задача.*
Разходи за Храна (сектор с \(\angle AOC = 18^\circ\)): \( \frac{18}{360} X = 0.05 X \)
Разходи за Настаняване (сектор с \(\angle AOD = 126^\circ\)): \( \frac{126}{360} X = 0.35 X \)
Знаем, че разходите за настаняване са с 220 лв. повече (текстът в оригиналната картинка е "с 220 лв. по-малко от тези за храна", но това води до отрицателни разходи, затова ще приемем обратния случай, който е по-логичен). Ако приемем, че храната е с 220 лв по-малко от настаняването: \[ 0.35X - 0.05X = 220 \] \[ 0.30X = 220 \] \[ X = \frac{220}{0.3} \approx 733.33 \text{ лв.} \] *Бележка: Ако следваме стриктно условието "разходите за настаняване са с 220 лв по-малко от тези за храна", получаваме \(0.05X - 0.35X = 220 \implies -0.3X = 220\), което е невъзможно. Вероятно има грешка в условието на оригиналната задача.*
