Най-важното от урока
Медиана към хипотенузата: Винаги е равна на половината от хипотенузата (\(CM = \frac{1}{2}AB\)).
Ако \(\angle A = 30^\circ\): Медианата \(CM\) е равна на катета \(BC\), а \(\triangle MBC\) е равностранен.
Ъгъл между медиана и височина: \(\angle MCH\) е равен на разликата между острите ъгли (\(|\alpha - \beta|\)). Пример: ако \(\alpha=70^\circ, \beta=20^\circ\), то \(\angle MCH=50^\circ\).
Ако \(\angle A = 15^\circ\): Височината \(CH\) е една четвърт от хипотенузата \(AB\). Пример: ако \(AB=16\), то \(CH=4\).
Ако \(\angle A = 30^\circ\): Медианата \(CM\) е равна на катета \(BC\), а \(\triangle MBC\) е равностранен.
Ъгъл между медиана и височина: \(\angle MCH\) е равен на разликата между острите ъгли (\(|\alpha - \beta|\)). Пример: ако \(\alpha=70^\circ, \beta=20^\circ\), то \(\angle MCH=50^\circ\).
Ако \(\angle A = 15^\circ\): Височината \(CH\) е една четвърт от хипотенузата \(AB\). Пример: ако \(AB=16\), то \(CH=4\).
В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 30°, медианата към хипотенузата е равна на катета, лежащ срещу този ъгъл.
Ако в \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\) имаме \(\angle A = 30^\circ\), то медианата \(CM\) към хипотенузата е равна на катета \(BC\). От това следва, че \(\triangle MBC\) е равностранен.
В правоъгълен \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), медианата \(CM\) е 8 cm, а \(\angle A = 30^\circ\). Намерете дължината на катета \(BC\).
От свойството знаем, че ако \(\angle A = 30^\circ\), то \(CM = BC\).
Следователно \(BC = 8\) cm.
Следователно \(BC = 8\) cm.
Ъгълът между медианата (\(CM\)) и височината (\(CH\)) към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равен на модула на разликата на острите му ъгли.
Ако \(\angle A = \alpha\) и \(\angle B = \beta\), то \(\angle MCH = |\alpha - \beta|\).
Ъгълът между медианата \(CM\) и височината \(CH\) е: \[\angle MCH = |25^\circ - 65^\circ| = |-40^\circ| = 40^\circ\]
В \(\triangle ABC (\angle C=90^\circ)\), острите ъгли са \(\alpha = 50^\circ\) и \(\beta = 40^\circ\). Намерете \(\angle MCH\), където \(CM\) е медиана, а \(CH\) е височина към хипотенузата.
Използваме формулата: \(\angle MCH = |\alpha - \beta|\).
\[\angle MCH = |50^\circ - 40^\circ| = 10^\circ\]
В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 15°, височината към хипотенузата е четири пъти по-малка от хипотенузата.
Ако \(\angle A = 15^\circ\), то \(CH = \frac{1}{4} AB\).
В правоъгълен триъгълник един от острите ъгли е 15°, а височината към хипотенузата е 3 cm. Намерете дължината на хипотенузата.
От свойството \(CH = \frac{1}{4} AB\), следва че \(AB = 4 \cdot CH\).
\[AB = 4 \cdot 3 = 12 \text{ cm}\]
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\) хипотенузата \(AB = 14\) cm. Намерете дължината на медианата \(CM\).
Медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата.
\[CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \text{ cm}\]
Средна: В \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\), \(CM\) е медиана и \(CH\) е височина към хипотенузата \(AB\). Ако \(\angle MCH = 20^\circ\) и \(\angle A > \angle B\), намерете острите ъгли на триъгълника.
Нека \(\angle A = \alpha\) и \(\angle B = \beta\). Знаем, че \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
От свойството \(\angle MCH = |\alpha - \beta|\). Тъй като \(\alpha > \beta\), то \(\alpha - \beta = 20^\circ\).
Решаваме системата:
\(\alpha + \beta = 90^\circ\)
\(\alpha - \beta = 20^\circ\)
Като съберем двете уравнения, получаваме \(2\alpha = 110^\circ \Rightarrow \alpha = 55^\circ\).
Тогава \(\beta = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).
Отговор: Острите ъгли са 55° и 35°.
От свойството \(\angle MCH = |\alpha - \beta|\). Тъй като \(\alpha > \beta\), то \(\alpha - \beta = 20^\circ\).
Решаваме системата:
\(\alpha + \beta = 90^\circ\)
\(\alpha - \beta = 20^\circ\)
Като съберем двете уравнения, получаваме \(2\alpha = 110^\circ \Rightarrow \alpha = 55^\circ\).
Тогава \(\beta = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\).
Отговор: Острите ъгли са 55° и 35°.
Трудна: В правоъгълен \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\) с \(\angle A = 15^\circ\), медианата \(CM = 10\) cm. Намерете лицето на \(\triangle ABC\).
1. Намираме хипотенузата \(AB\).
Тъй като \(CM\) е медиана към хипотенузата, \(AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 10 = 20\) cm.
2. Намираме височината \(CH\).
За правоъгълен триъгълник с ъгъл 15°, знаем че \(CH = \frac{1}{4} AB\).
\(CH = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5\) cm.
3. Намираме лицето \(S\).
Лицето на триъгълник е \(S = \frac{\text{основа} \cdot \text{височина}}{2}\). \[S_{ABC} = \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm}^2\] Отговор: Лицето е 50 cm².
Тъй като \(CM\) е медиана към хипотенузата, \(AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 10 = 20\) cm.
2. Намираме височината \(CH\).
За правоъгълен триъгълник с ъгъл 15°, знаем че \(CH = \frac{1}{4} AB\).
\(CH = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5\) cm.
3. Намираме лицето \(S\).
Лицето на триъгълник е \(S = \frac{\text{основа} \cdot \text{височина}}{2}\). \[S_{ABC} = \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm}^2\] Отговор: Лицето е 50 cm².
