Най-важното от урока
Равни страни и ъгли: Равнобедреният триъгълник има 2 равни страни (бедра) и 2 равни ъгъла (при основата). Срещу равните страни лежат равни ъгли и обратно.
Ако знаете страните: Можете да определите кои са ъглите при основата. Пример: Ако \(AC = BC\), основата е \(AB\) и \(\angle A = \angle B\).
Ако знаете ъглите: Можете да определите кои са бедрата. Пример: Ако \(\angle A = \angle B\), бедрата са \(BC\) и \(AC\).
Изчисляване на ъгли: Ако \(\alpha\) е ъгълът при основата, а \(\gamma\) е ъгълът при върха, то \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\).
Ако знаете страните: Можете да определите кои са ъглите при основата. Пример: Ако \(AC = BC\), основата е \(AB\) и \(\angle A = \angle B\).
Ако знаете ъглите: Можете да определите кои са бедрата. Пример: Ако \(\angle A = \angle B\), бедрата са \(BC\) и \(AC\).
Изчисляване на ъгли: Ако \(\alpha\) е ъгълът при основата, а \(\gamma\) е ъгълът при върха, то \(2\alpha + \gamma = 180^\circ\).
Триъгълник, на който две от страните са равни, се нарича равнобедрен.
Равните страни се наричат бедра, а третата страна – основа. Върхът срещу основата се нарича връх на триъгълника.
Ако в \(\triangle ABC\) страните \(AC = 10\) см и \(BC = 10\) см, а \(AB = 8\) см, то \(\triangle ABC\) е равнобедрен.
- Бедра: \(AC\) и \(BC\)
- Основа: \(AB\)
В \(\triangle MNP\) страните са \(MN = 7\) см, \(NP = 5\) см и \(MP = 7\) см. Коя е основата на триъгълника?
Бедрата са равните страни \(MN\) и \(MP\). Основата е третата страна – \(NP\).
В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.
Ако \(\triangle ABC\) е равнобедрен с основа \(AB\), то \(\angle A = \angle B\). Ако \(\angle A = 50^\circ\), то и \(\angle B = 50^\circ\).
В равнобедрен \(\triangle PQR\) основата е \(PQ\). Ако \(\angle Q = 65^\circ\), колко градуса е \(\angle P\)?
Ъглите при основата \(PQ\) са \(\angle P\) и \(\angle Q\). Следователно \(\angle P = \angle Q = 65^\circ\).
Ако в един триъгълник два от ъглите са равни, то той е равнобедрен.
Срещу равните ъгли лежат равните страни (бедрата).
Ако в \(\triangle LMN\) ъглите са \(\angle L = 70^\circ\) и \(\angle N = 70^\circ\), то триъгълникът е равнобедрен. Равните страни са \(MN\) (срещу \(\angle L\)) и \(LM\) (срещу \(\angle N\)). Основата е \(LN\).
Ъглите на \(\triangle XYZ\) са \(\angle X=40^\circ\), \(\angle Y=100^\circ\), \(\angle Z=40^\circ\). Кои са бедрата на триъгълника?
Триъгълникът е равнобедрен, защото \(\angle X = \angle Z\). Бедрата са страните срещу равните ъгли: \(YZ\) (срещу \(\angle X\)) и \(XY\) (срещу \(\angle Z\)).
Ако означим ъглите при основата с \(\alpha\), а ъгъла при върха с \(\gamma\), винаги е в сила:
\[ 2\alpha + \gamma = 180^\circ \]
Оттук можем да намираме ъглите:
\[ \alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2} \quad \text{и} \quad \gamma = 180^\circ - 2\alpha \]
Ъглите при основата (\(\alpha\)) на равнобедрен триъгълник са винаги остри (\(< 90^\circ\)).
В равнобедрен триъгълник ъгълът при върха е \(\gamma = 50^\circ\). Ъглите при основата са:
\[ \alpha = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ \]
Трите ъгъла са \(65^\circ, 65^\circ, 50^\circ\).
Намерете ъгъла при върха на равнобедрен триъгълник, ако ъглите при основата са по \(40^\circ\).
\(\gamma = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Единият ъгъл при основата на равнобедрен триъгълник е \(56^\circ\). Намерете другите два ъгъла.
Тъй като ъглите при основата са равни, другият ъгъл при основата също е \(56^\circ\).
Ъгълът при върха е \(\gamma = 180^\circ - (56^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\).
Отговор: \(56^\circ\) и \(68^\circ\).
Средна: Ъгълът при върха на равнобедрен триъгълник е \(120^\circ\). Намерете ъглите при основата.
Сборът на ъглите при основата е \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Тъй като те са равни, всеки от тях е \(\alpha = 60^\circ / 2 = 30^\circ\).
Отговор: Ъглите при основата са по \(30^\circ\).
Трудна: Един от ъглите на равнобедрен триъгълник е \(40^\circ\). Намерете другите два ъгъла. (Внимание: задачата има две решения!)
Случай 1: Даденият ъгъл е при основата.
Тогава и другият ъгъл при основата е \(40^\circ\). Ъгълът при върха е \(180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\).
Ъглите са: \(40^\circ, 40^\circ, 100^\circ\).
Случай 2: Даденият ъгъл е при върха.
Тогава сборът на двата ъгъла при основата е \(180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\). Всеки от тях е \(140^\circ / 2 = 70^\circ\).
Ъглите са: \(70^\circ, 70^\circ, 40^\circ\).
