Най-важното от урока
Деление с остатък: \(a = b \cdot p + r\), където остатъкът \(r < b\). Пример: \(42:9=4\) (ост. 6).
Признаци за делимост: на 2 (четни), на 5 (...0, ...5), на 3 (сборът от цифрите се дели на 3).
Прости числа: имат само 2 делителя (1 и себе си). Пример: 2, 3, 5, 7, 11...
НОД: Произведение на общите прости множители. Пример: НОД(12, 18) = \(2\cdot3=6\).
НОК: Произведение на простите множители на най-висока степен. Пример: НОК(12, 18) = \(2^2\cdot3^2=36\).
Признаци за делимост: на 2 (четни), на 5 (...0, ...5), на 3 (сборът от цифрите се дели на 3).
Прости числа: имат само 2 делителя (1 и себе си). Пример: 2, 3, 5, 7, 11...
НОД: Произведение на общите прости множители. Пример: НОД(12, 18) = \(2\cdot3=6\).
НОК: Произведение на простите множители на най-висока степен. Пример: НОК(12, 18) = \(2^2\cdot3^2=36\).
Когато числото \(a\) (делимо) се раздели на числото \(b\) (делител), се получава частно \(p\) и остатък \(r\). Остатъкът \(r\) винаги е по-малък от делителя \(b\).
\[ a = b \cdot p + r \quad, \text{където } 0 \le r < b \]
При деление на \(146\) на \(8\) се получава частно \(18\) и остатък \(2\).
Записваме: \(146 : 8 = 18\) (ост. 2).
Проверка: \(8 \cdot 18 + 2 = 144 + 2 = 146\).
Записваме: \(146 : 8 = 18\) (ост. 2).
Проверка: \(8 \cdot 18 + 2 = 144 + 2 = 146\).
Задача: Извършете делението \(53 : 10\) и направете проверка.
\(53 : 10 = 5\) (ост. 3).
Проверка: \(10 \cdot 5 + 3 = 50 + 3 = 53\).
Проверка: \(10 \cdot 5 + 3 = 50 + 3 = 53\).
Ако при деление на \(a\) с \(b\) остатъкът е 0, казваме, че \(b\) е делител на \(a\), а \(a\) е кратно на \(b\).
1 е делител на всяко число. Всяко число е делител на себе си.
0 е кратно на всяко число. Всяко число е кратно на 1 и на себе си.
0 е кратно на всяко число. Всяко число е кратно на 1 и на себе си.
Тъй като \(35 : 5 = 7\) (остатък 0), числото 5 е делител на 35, а 35 е кратно на 5.
Задача: Избройте всички делители на числото 12.
Делителите на 12 са числата, на които 12 се дели без остатък: 1, 2, 3, 4, 6 и 12.
На 2: Число, чиято последна цифра е 0, 2, 4, 6 или 8 (четно число).
На 5: Число, чиято последна цифра е 0 или 5.
На 3: Число, чийто сбор от цифрите се дели на 3.
Числото 540 се дели на:
- 2, защото завършва на 0.
- 5, защото завършва на 0.
- 3, защото сборът от цифрите му е \(5+4+0=9\), а 9 се дели на 3.
Задача: Без да делите, определете дали 471 се дели на 3.
Да. Сборът от цифрите е \(4+7+1=12\), а 12 се дели на 3.
Просто число: Естествено число, което има точно два различни делителя: 1 и себе си.
Съставно число: Естествено число, което има повече от два делителя.
Числото 1 не е нито просто, нито съставно, защото има само един делител.
13 е просто число (делители 1, 13).
18 е съставно число (делители 1, 2, 3, 6, 9, 18).
18 е съставно число (делители 1, 2, 3, 6, 9, 18).
Задача: Кое е най-малкото просто число?
Най-малкото просто число е 2. То е и единственото четно просто число.
Най-големият общ делител (НОД) на две или повече числа е най-голямото число, което е делител на всяко от тях.
Разложете всяко число на прости множители.
Намерете произведението на техните общи прости множители.
Намиране на НОД(12, 18):
1. Разлагаме: \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\).
2. Общите множители са \(2\) и \(3\).
3. \(\text{НОД}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6\).
1. Разлагаме: \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\).
2. Общите множители са \(2\) и \(3\).
3. \(\text{НОД}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6\).
Задача: Намерете НОД(36, 60).
\(36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3\)
\(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\)
Общи множители: \(2, 2, 3\).
\(\text{НОД}(36, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\).
\(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\)
Общи множители: \(2, 2, 3\).
\(\text{НОД}(36, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\).
Най-малкото общо кратно (НОК) на две или повече числа е най-малкото число, което е кратно на всяко от тях.
Разложете всяко число на прости множители.
Умножете простите множители на първото число с тези множители от второто, които не се съдържат в първото. (Или вземете всяка основа на най-високата й степен).
Намиране на НОК(12, 18):
1. Разлагаме: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\).
2. Взимаме най-високите степени на всички основи (2 и 3): \(2^2\) и \(3^2\).
3. \(\text{НОК}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).
1. Разлагаме: \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3^2\).
2. Взимаме най-високите степени на всички основи (2 и 3): \(2^2\) и \(3^2\).
3. \(\text{НОК}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\).
Задача: Намерете НОК(15, 18).
\(15 = 3 \cdot 5\)
\(18 = 2 \cdot 3^2\)
Взимаме основите 2, 3, 5 на най-висока степен: \(2^1, 3^2, 5^1\).
\(\text{НОК}(15, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90\).
\(18 = 2 \cdot 3^2\)
Взимаме основите 2, 3, 5 на най-висока степен: \(2^1, 3^2, 5^1\).
\(\text{НОК}(15, 18) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете кое е числото \(x\), ако \(x : 7 = 5\) (ост. 2).
Използваме формулата за проверка: \(x = \text{делител} \cdot \text{частно} + \text{остатък}\).
\(x = 7 \cdot 5 + 2 = 35 + 2 = 37\).
\(x = 7 \cdot 5 + 2 = 35 + 2 = 37\).
Средна: Намерете НОД и НОК на числата 90 и 210.
1. Разлагаме на прости множители:
\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\)
\(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\)
2. \(\text{НОД}(90, 210)\): Общите множители са \(2, 3, 5\). НОД = \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).
3. \(\text{НОК}(90, 210)\): Взимаме всички множители на най-висока степен: \(2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630\).
\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\)
\(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\)
2. \(\text{НОД}(90, 210)\): Общите множители са \(2, 3, 5\). НОД = \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).
3. \(\text{НОК}(90, 210)\): Взимаме всички множители на най-висока степен: \(2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630\).
Трудна: Тея тренира бягане всеки 3-ти ден, а Ая - всеки 4-ти ден. Днес (1-ви август) са тренирали заедно. На кои следващи дати през август (който има 31 дни) ще тренират отново заедно?
Търсим дните, които са общи кратни на 3 и 4. За целта намираме \(\text{НОК}(3, 4)\).
\(\text{НОК}(3, 4) = 12\).
Те ще тренират заедно на всеки 12 дни.
След 1-ви август, следващите им общи тренировки ще са след 12 дни и след още 12 дни.
Дати: \(1 + 12 = 13\)-и август, \(13 + 12 = 25\)-и август.
\(\text{НОК}(3, 4) = 12\).
Те ще тренират заедно на всеки 12 дни.
След 1-ви август, следващите им общи тренировки ще са след 12 дни и след още 12 дни.
Дати: \(1 + 12 = 13\)-и август, \(13 + 12 = 25\)-и август.
