Най-важното от урока
Разместително свойство: Редът на събираемите не променя сбора. \( \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{1}{3}+\frac{1}{2} \).
Съдружително свойство: Можем да групираме събираемите по различен начин. \( (\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) \).
Приложение: Използвай свойствата, за да групираш дроби с еднакви знаменатели. Така пресмяташ по-бързо и лесно (рационално). Пример: \( \frac{2}{9} + \frac{3}{5} + \frac{7}{9} = (\frac{2}{9}+\frac{7}{9}) + \frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5} \).
Съдружително свойство: Можем да групираме събираемите по различен начин. \( (\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) \).
Приложение: Използвай свойствата, за да групираш дроби с еднакви знаменатели. Така пресмяташ по-бързо и лесно (рационално). Пример: \( \frac{2}{9} + \frac{3}{5} + \frac{7}{9} = (\frac{2}{9}+\frac{7}{9}) + \frac{3}{5} = 1 + \frac{3}{5} = 1\frac{3}{5} \).
Когато събираме две дроби, редът, в който ги събираме, не променя резултата (сбора).
\[ a + b = b + a \]
Дали ще съберем \( \frac{5}{8} \) с \( \frac{3}{7} \) или \( \frac{3}{7} \) с \( \frac{5}{8} \), резултатът е един и същ:
\[ \frac{5}{8} + \frac{3}{7} = \frac{35}{56} + \frac{24}{56} = \frac{59}{56} \]
\[ \frac{3}{7} + \frac{5}{8} = \frac{24}{56} + \frac{35}{56} = \frac{59}{56} \]
Сборът на \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \) равен ли е на сбора на \( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \)?
Отговор: Да, според разместителното свойство сборът е един и същ.
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)
\( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)
Когато събираме три или повече дроби, можем да ги групираме по различен начин, без това да промени крайния сбор.
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
За да сметнем \( \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \), можем първо да съберем първите две дроби или вторите две:
\[ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{3} = \frac{9}{20} + \frac{1}{3} = \frac{27+20}{60} = \frac{47}{60} \]
\[ \frac{1}{5} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{7}{12} = \frac{12+35}{60} = \frac{47}{60} \]
Пресметнете \( \left(\frac{3}{11} + \frac{2}{11}\right) + \frac{1}{2} \).
Отговор: \( \frac{5}{11} + \frac{1}{2} = \frac{10}{22} + \frac{11}{22} = \frac{21}{22} \).
Използваме разместителното и съдружителното свойство, за да разместим и групираме дроби, които се събират по-лесно (например тези с еднакви знаменатели).
Първо събирай дробите с еднакви знаменатели!
За да пресметнем рационално \( \frac{5}{36} + \frac{7}{24} + \frac{7}{36} \):
Разместваме и групираме дробите с еднакъв знаменател:
\[ \left(\frac{5}{36} + \frac{7}{36}\right) + \frac{7}{24} \]
Извършваме събирането в скобите:
\[ \frac{12}{36} + \frac{7}{24} = \frac{1}{3} + \frac{7}{24} \]
Събираме останалите дроби:
\[ \frac{8}{24} + \frac{7}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \]
Пресметнете рационално \( \frac{2}{13} + \frac{3}{8} + \frac{11}{13} \).
\( \left(\frac{2}{13} + \frac{11}{13}\right) + \frac{3}{8} = \frac{13}{13} + \frac{3}{8} = 1 + \frac{3}{8} = 1\frac{3}{8} \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{1}{7} + \frac{2}{5} + \frac{6}{7} \) по рационален начин.
\[ \left(\frac{1}{7} + \frac{6}{7}\right) + \frac{2}{5} = \frac{7}{7} + \frac{2}{5} = 1 + \frac{2}{5} = 1\frac{2}{5} \]
Средна: Пресметнете сбора \( \frac{5}{12} + \frac{1}{8} + \frac{7}{12} + \frac{3}{8} \).
Групираме дробите с еднакви знаменатели:
\[ \left(\frac{5}{12} + \frac{7}{12}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{3}{8}\right) = \frac{12}{12} + \frac{4}{8} = 1 + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} \]
Трудна: Намерете числото, което е с \( \frac{1}{4} \) по-голямо от сбора на числата \( \frac{2}{15} \), \( \frac{1}{6} \) и \( \frac{13}{15} \).
Първо намираме сбора по рационален начин:
\[ \left(\frac{2}{15} + \frac{13}{15}\right) + \frac{1}{6} = \frac{15}{15} + \frac{1}{6} = 1 + \frac{1}{6} = 1\frac{1}{6} \]
След това към получения сбор прибавяме \( \frac{1}{4} \):
\[ 1\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{7}{6} + \frac{1}{4} = \frac{14}{12} + \frac{3}{12} = \frac{17}{12} = 1\frac{5}{12} \]
Отговор: Търсеното число е \( 1\frac{5}{12} \).
