Най-важното от урока
Ако \(p\%\) от числото \(A\) е равно на \(B\), то връзката е \( \frac{p}{100} \cdot A = B \).
1. Намиране на част (\(B\)): \( B = \frac{p}{100} \cdot A \). Пример: 25% от 80 е \(0.25 \cdot 80 = 20\).
2. Намиране на основа (\(A\)): \( A = B \cdot \frac{100}{p} \). Пример: Ако 10% от \(A\) е 30, то \(A = 30 \cdot \frac{100}{10} = 300\).
3. Намиране на процент (\(p\)): \( p = \frac{B}{A} \cdot 100 \). Пример: 15 от 60 е \(\frac{15}{60} \cdot 100 = 25\%\).
Увеличение/Намаление: Нова стойност = \( A \cdot (1 \pm \frac{p}{100}) \).
1. Намиране на част (\(B\)): \( B = \frac{p}{100} \cdot A \). Пример: 25% от 80 е \(0.25 \cdot 80 = 20\).
2. Намиране на основа (\(A\)): \( A = B \cdot \frac{100}{p} \). Пример: Ако 10% от \(A\) е 30, то \(A = 30 \cdot \frac{100}{10} = 300\).
3. Намиране на процент (\(p\)): \( p = \frac{B}{A} \cdot 100 \). Пример: 15 от 60 е \(\frac{15}{60} \cdot 100 = 25\%\).
Увеличение/Намаление: Нова стойност = \( A \cdot (1 \pm \frac{p}{100}) \).
Това е най-често срещаната задача, при която трябва да намерим стойността на даден процент от известно число (основа).
\[ \text{Частта} = \frac{\text{процента}}{100} \cdot \text{Основата} \]
Колко е \(9,6\%\) от 500?
Решение: \( \frac{9,6}{100} \cdot 500 = 0,096 \cdot 500 = 48 \)
Решение: \( \frac{9,6}{100} \cdot 500 = 0,096 \cdot 500 = 48 \)
Задача: В един клас има 25 ученици. 40% от тях са момчета. Колко са момчетата в класа?
Търсим 40% от 25.
\( \frac{40}{100} \cdot 25 = 0,4 \cdot 25 = 10 \)
Отговор: Момчетата са 10.
\( \frac{40}{100} \cdot 25 = 0,4 \cdot 25 = 10 \)
Отговор: Момчетата са 10.
Тук знаем стойността на частта и на колко процента се равнява тя. Търсим първоначалното число (основата).
\[ \text{Основата} = \text{Частта} : \frac{\text{процента}}{100} = \text{Частта} \cdot \frac{100}{\text{процента}} \]
ДДС-то на една стока е 27 лв., което е 20% от цената ѝ без ДДС. Каква е цената без ДДС?
Решение: Нека цената е \(x\).
\( 20\% \text{ от } x = 27 \implies \frac{20}{100} \cdot x = 27 \implies x = 27 \cdot \frac{100}{20} = 27 \cdot 5 = 135 \) лв.
Решение: Нека цената е \(x\).
\( 20\% \text{ от } x = 27 \implies \frac{20}{100} \cdot x = 27 \implies x = 27 \cdot \frac{100}{20} = 27 \cdot 5 = 135 \) лв.
Задача: 35% от учениците в едно училище са отличници. Ако отличниците са 140, колко са всички ученици в училището?
Нека всички ученици са \(x\).
\( 35\% \text{ от } x = 140 \implies \frac{35}{100} \cdot x = 140 \implies x = 140 \cdot \frac{100}{35} = 4 \cdot 100 = 400 \)
Отговор: Всички ученици са 400.
\( 35\% \text{ от } x = 140 \implies \frac{35}{100} \cdot x = 140 \implies x = 140 \cdot \frac{100}{35} = 4 \cdot 100 = 400 \)
Отговор: Всички ученици са 400.
При този тип задача знаем основата и частта, а търсим какъв процент представлява частта от основата.
\[ \text{Процентът} = \frac{\text{Частта}}{\text{Основата}} \cdot 100 \]
Стойността на една покупка е 135 лв., а ДДС-то върху нея е 27 лв. Какъв процент е ДДС?
Решение: \( \frac{27}{135} \cdot 100 = 0,2 \cdot 100 = 20\% \)
Решение: \( \frac{27}{135} \cdot 100 = 0,2 \cdot 100 = 20\% \)
Задача: От 50 изстрела по мишена, 45 са попадения. Какъв е процентът на попаденията?
Търсим какъв процент е 45 от 50.
\( \frac{45}{50} \cdot 100 = 0,9 \cdot 100 = 90\% \)
Отговор: Процентът на попаденията е 90%.
\( \frac{45}{50} \cdot 100 = 0,9 \cdot 100 = 90\% \)
Отговор: Процентът на попаденията е 90%.
За да увеличим/намалим число с даден процент, можем първо да намерим стойността на процента и да я прибавим/извадим, или директно да изчислим новия процент (100% + p% или 100% - p%).
Компютър струва 1400 лв. Намерете новата му цена при намаление с 10%.
Начин 1: Намалението е \(10\%\) от 1400, т.е. \(\frac{10}{100} \cdot 1400 = 140\) лв. Новата цена е \(1400 - 140 = 1260\) лв.
Начин 2: Новата цена е \(100\% - 10\% = 90\%\) от старата. \( \frac{90}{100} \cdot 1400 = 1260 \) лв.
Начин 1: Намалението е \(10\%\) от 1400, т.е. \(\frac{10}{100} \cdot 1400 = 140\) лв. Новата цена е \(1400 - 140 = 1260\) лв.
Начин 2: Новата цена е \(100\% - 10\% = 90\%\) от старата. \( \frac{90}{100} \cdot 1400 = 1260 \) лв.
Задача: Заплата от 2000 лв. е увеличена с 15%. Колко е новата заплата?
Новата заплата е \(100\% + 15\% = 115\%\) от старата.
\( \frac{115}{100} \cdot 2000 = 1,15 \cdot 2000 = 2300 \) лв.
Отговор: Новата заплата е 2300 лв.
\( \frac{115}{100} \cdot 2000 = 1,15 \cdot 2000 = 2300 \) лв.
Отговор: Новата заплата е 2300 лв.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете 5% от 300.
\( \frac{5}{100} \cdot 300 = 0,05 \cdot 300 = 15 \)
Средна: Цена на яке е 120 лв. Намалена е с 20%. Колко струва якето след намалението?
Намалението е \(100\% - 20\% = 80\%\) от първоначалната цена.
Нова цена: \( \frac{80}{100} \cdot 120 = 0,8 \cdot 120 = 96 \) лв.
Нова цена: \( \frac{80}{100} \cdot 120 = 0,8 \cdot 120 = 96 \) лв.
Трудна: След като цената на една стока била увеличена с 15%, тя започнала да струва 460 лв. Каква е била първоначалната цена на стоката?
Новата цена е \(100\% + 15\% = 115\%\) от старата.
Нека старата цена е \(x\). Тогава \(115\%\) от \(x\) е 460.
\( \frac{115}{100} \cdot x = 460 \implies x = 460 \cdot \frac{100}{115} = 4 \cdot 100 = 400 \) лв.
Отговор: Първоначалната цена е била 400 лв.
Нека старата цена е \(x\). Тогава \(115\%\) от \(x\) е 460.
\( \frac{115}{100} \cdot x = 460 \implies x = 460 \cdot \frac{100}{115} = 4 \cdot 100 = 400 \) лв.
Отговор: Първоначалната цена е била 400 лв.
