Най-важното от урока
Основно правило: При деление на степени с равни основи, основата се запазва, а показателите се изваждат: \(a^n : a^m = a^{n-m}\). Пример: \(5^7 : 5^4 = 5^{7-4} = 5^3\).
Нулева степен: Всяко число (без 0), повдигнато на нулева степен, е 1. \(a^0=1\). Пример: \(x^5 : x^5 = x^0 = 1\).
Отрицателна степен: Степен с отрицателен показател е реципрочната на същата степен, но с положителен показател: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Пример: \(2^3 : 2^5 = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\).
Нулева степен: Всяко число (без 0), повдигнато на нулева степен, е 1. \(a^0=1\). Пример: \(x^5 : x^5 = x^0 = 1\).
Отрицателна степен: Степен с отрицателен показател е реципрочната на същата степен, но с положителен показател: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Пример: \(2^3 : 2^5 = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\).
При деление на степени с равни основи (\(a \neq 0\)), основата се запазва, а от степенния показател на делимото се изважда степенният показател на делителя.
\[ \frac{a^n}{a^m} = a^n : a^m = a^{n-m} \]
където \(n\) и \(m\) са естествени числа.
Да пресметнем \(3^{19} : 3^{17}\).
\[ 3^{19} : 3^{17} = 3^{19-17} = 3^2 = 9 \]
\[ 3^{19} : 3^{17} = 3^{19-17} = 3^2 = 9 \]
Задача: Представете като степен частното \((5a)^{13} : (5a)^8\).
Отговор: \((5a)^{13-8} = (5a)^5\)
Когато делимото и делителят са равни степени, техният степенен показател след изваждане е 0. Всяко число (\(a \neq 0\)), повдигнато на нулева степен, е равно на 1.
\[ a^n : a^n = a^{n-n} = a^0 = 1 \]
Да пресметнем \(13^7 : 13^7\).
\[ 13^7 : 13^7 = 13^{7-7} = 13^0 = 1 \]
\[ 13^7 : 13^7 = 13^{7-7} = 13^0 = 1 \]
Задача: Опростете израза \(\frac{x^{20}}{x^{20}}\) (при \(x \neq 0\)).
Отговор: \(\frac{x^{20}}{x^{20}} = x^{20-20} = x^0 = 1\)
Когато степенният показател на делимото е по-малък от този на делителя, резултатът е отрицателен степенен показател. Степен с отрицателен показател е равна на реципрочната стойност на степента с противоположен (положителен) показател.
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Да пресметнем \(7^{17} : 7^{19}\).
\[ 7^{17} : 7^{19} = 7^{17-19} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \]
\[ 7^{17} : 7^{19} = 7^{17-19} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49} \]
Задача: Пресметнете \(\frac{3^4 \cdot 3^5}{3^{12}}\).
\(\frac{3^{4+5}}{3^{12}} = \frac{3^9}{3^{12}} = 3^{9-12} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}\)
За опростяване на по-сложни изрази първо се извършват действията в числителя и знаменателя (умножение на степени) и след това се извършва делението.
Да пресметнем \(\frac{4^9 \cdot 5^3}{5^2 \cdot 4^7}\). Групираме степените с равни основи:
\[ \frac{4^9}{4^7} \cdot \frac{5^3}{5^2} = 4^{9-7} \cdot 5^{3-2} = 4^2 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80 \]
\[ \frac{4^9}{4^7} \cdot \frac{5^3}{5^2} = 4^{9-7} \cdot 5^{3-2} = 4^2 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80 \]
Задача: Опростете израза \(\frac{x^7 \cdot x^5}{x^4}\) (при \(x \neq 0\)).
\(\frac{x^{7+5}}{x^4} = \frac{x^{12}}{x^4} = x^{12-4} = x^8\)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(10^{15} : 10^{12}\).
\(10^{15} : 10^{12} = 10^{15-12} = 10^3 = 1000\)
Средна: Намерете стойността на израза \(\frac{2^8 \cdot 7^5}{2^5 \cdot 7^5}\).
\[ \frac{2^8}{2^5} \cdot \frac{7^5}{7^5} = 2^{8-5} \cdot 7^{5-5} = 2^3 \cdot 7^0 = 8 \cdot 1 = 8 \]
Трудна: Намерете \(x\), ако \(a^{13} : a^x = a^8\) (при \(a \neq 0\)).
От правилото за деление следва, че \(a^{13-x} = a^8\).
Тъй като основите са равни, степенните показатели също трябва да са равни:
\(13 - x = 8\)
\(x = 13 - 8\)
\(x = 5\)
Тъй като основите са равни, степенните показатели също трябва да са равни:
\(13 - x = 8\)
\(x = 13 - 8\)
\(x = 5\)
