Най-важното от урока
Околна повърхнина (S): Намира се по формулата \(S = \frac{P \cdot k}{2}\), където \(P\) е периметърът на основата, а \(k\) е апотемата на пирамидата (височината на околна стена).
Пълна повърхнина (S₁): Тя е сбор от околната повърхнина и лицето на основата. Формулата е \(S_1 = S + B\).
Стъпки за намиране на \(S_1\):
1. Намерете периметъра на основата (\(P\)).
2. Изчислете околната повърхнина (\(S = \frac{P \cdot k}{2}\)).
3. Изчислете лицето на основата (\(B\)), според вида на многоъгълника.
4. Съберете двете лица (\(S_1 = S + B\)).
Пълна повърхнина (S₁): Тя е сбор от околната повърхнина и лицето на основата. Формулата е \(S_1 = S + B\).
Стъпки за намиране на \(S_1\):
1. Намерете периметъра на основата (\(P\)).
2. Изчислете околната повърхнина (\(S = \frac{P \cdot k}{2}\)).
3. Изчислете лицето на основата (\(B\)), според вида на многоъгълника.
4. Съберете двете лица (\(S_1 = S + B\)).
Лицето на околната повърхнина (S) е сборът от лицата на всички околни стени (триъгълниците) на пирамидата.
Апотема на пирамидата (k) е височината на една от триъгълните околни стени. Не трябва да се бърка с височината на самата пирамида.
\[ S = \frac{P \cdot k}{2} \]
където \(P\) е периметърът на основата, а \(k\) е апотемата на пирамидата.
Правилна седмоъгълна пирамида има основен ръб \(b = 2\) см и апотема \(k = 5\) см.
1. Периметър на основата: \(P = 7 \cdot b = 7 \cdot 2 = 14\) см.
2. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{14 \cdot 5}{2} = 35\) см².
1. Периметър на основата: \(P = 7 \cdot b = 7 \cdot 2 = 14\) см.
2. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{14 \cdot 5}{2} = 35\) см².
Намерете околната повърхнина \(S\) на правилна триъгълна пирамида с основен ръб \(b = 10\) см и апотема \(k = 12\) см.
1. Намираме периметъра на основата (триъгълник): \(P = 3 \cdot b = 3 \cdot 10 = 30\) см.
2. Прилагаме формулата: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = \frac{360}{2} = 180\) см².
Отговор: \(S = 180\) см².
2. Прилагаме формулата: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{30 \cdot 12}{2} = \frac{360}{2} = 180\) см².
Отговор: \(S = 180\) см².
Лицето на пълната повърхнина (S₁) е сборът от лицето на околната повърхнина (S) и лицето на основата (B).
\[ S_1 = S + B \]
където \(S\) е околната повърхнина, а \(B\) е лицето на основата.
Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб \(b = 20\) см и апотема \(k = 45\) см.
1. Околна повърхнина \(S\): \(P = 4 \cdot 20 = 80\) см. \(S = \frac{80 \cdot 45}{2} = 1800\) см².
2. Лице на основата \(B\): Основата е квадрат. \(B = b \cdot b = 20 \cdot 20 = 400\) см².
3. Пълна повърхнина \(S_1\): \(S_1 = S + B = 1800 + 400 = 2200\) см².
1. Околна повърхнина \(S\): \(P = 4 \cdot 20 = 80\) см. \(S = \frac{80 \cdot 45}{2} = 1800\) см².
2. Лице на основата \(B\): Основата е квадрат. \(B = b \cdot b = 20 \cdot 20 = 400\) см².
3. Пълна повърхнина \(S_1\): \(S_1 = S + B = 1800 + 400 = 2200\) см².
Намерете пълната повърхнина \(S_1\) на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(b = 8\) м и апотема \(k = 10\) м.
1. Лице на основата (квадрат): \(B = 8 \cdot 8 = 64\) м².
2. Околна повърхнина: \(P = 4 \cdot 8 = 32\) м. \(S = \frac{32 \cdot 10}{2} = 160\) м².
3. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 160 + 64 = 224\) м².
Отговор: \(S_1 = 224\) м².
2. Околна повърхнина: \(P = 4 \cdot 8 = 32\) м. \(S = \frac{32 \cdot 10}{2} = 160\) м².
3. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 160 + 64 = 224\) м².
Отговор: \(S_1 = 224\) м².
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на околната повърхнина \(S\) на правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб \(b = 6\) см и апотема \(k = 10\) см.
1. Периметър на основата: \(P = 6 \cdot b = 6 \cdot 6 = 36\) см.
2. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{36 \cdot 10}{2} = 180\) см².
Отговор: \(180\) см².
2. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{36 \cdot 10}{2} = 180\) см².
Отговор: \(180\) см².
Средна: Намерете лицето на пълната повърхнина \(S_1\) на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(b = 10\) дм и околна повърхнина \(S = 260\) дм².
1. Дадено е \(S = 260\) дм².
2. Намираме лицето на основата \(B\). Основата е квадрат със страна \(b = 10\) дм.
\(B = b \cdot b = 10 \cdot 10 = 100\) дм².
3. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + B = 260 + 100 = 360\) дм².
Отговор: \(360\) дм².
2. Намираме лицето на основата \(B\). Основата е квадрат със страна \(b = 10\) дм.
\(B = b \cdot b = 10 \cdot 10 = 100\) дм².
3. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + B = 260 + 100 = 360\) дм².
Отговор: \(360\) дм².
Трудна: Покривът на беседка има форма на правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб 2 м и апотема на пирамидата 3 м. Колко квадратни метра керемиди са необходими за покриването му, ако трябва да се предвидят 10% повече материал за загуби при рязането?
1. Намираме повърхнината на покрива, което е околната повърхнина \(S\) на пирамидата.
Периметър: \(P = 6 \cdot 2 = 12\) м.
\(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\) м².
2. Изчисляваме необходимия допълнителен материал (10% от \(S\)):
\(10\% \text{ от } 18 = 0.10 \cdot 18 = 1.8\) м².
3. Събираме площта на покрива и допълнителния материал:
\(18 + 1.8 = 19.8\) м².
Отговор: Необходими са \(19.8\) м² керемиди.
Периметър: \(P = 6 \cdot 2 = 12\) м.
\(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\) м².
2. Изчисляваме необходимия допълнителен материал (10% от \(S\)):
\(10\% \text{ от } 18 = 0.10 \cdot 18 = 1.8\) м².
3. Събираме площта на покрива и допълнителния материал:
\(18 + 1.8 = 19.8\) м².
Отговор: Необходими са \(19.8\) м² керемиди.
