3. Действия с Обикновени Дроби

а)

1. Пресмятане на \( \frac{1}{12} + \frac{5}{12} \)

Знаменателите са еднакви, затова събираме числителите и запазваме знаменателя: \[ \frac{1}{12} + \frac{5}{12} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} \] Съкращаваме дробта на \( 6 \): \[ \frac{\cancel{6}^1}{\cancel{12}_2} = \frac{1}{2} \]

2. Пресмятане на \( \frac{3}{7} + \frac{4}{7} \)

Събираме числителите при общ знаменател: \[ \frac{3}{7} + \frac{4}{7} = \frac{3 + 4}{7} = \frac{7}{7} = 1 \]

3. Пресмятане на \( \frac{7}{11} + \frac{15}{11} \)

Събираме числителите: \[ \frac{7}{11} + \frac{15}{11} = \frac{7 + 15}{11} = \frac{22}{11} = 2 \]

4. Пресмятане на \( \frac{7}{9} + \frac{8}{9} \)

Събираме числителите: \[ \frac{7}{9} + \frac{8}{9} = \frac{7 + 8}{9} = \frac{15}{9} \] Съкращаваме дробта на \( 3 \): \[ \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{9}_3} = \frac{5}{3} \] Превръщаме неправилната дроб в смесено число: \[ \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \]

б)

1. Пресмятане на \( \frac{5}{6} - \frac{1}{6} \)

Изваждаме числителите: \[ \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} \] Съкращаваме на \( 2 \): \[ \frac{\cancel{4}^2}{\cancel{6}_3} = \frac{2}{3} \]

2. Пресмятане на \( \frac{7}{27} - \frac{4}{27} \)

Изваждаме числителите: \[ \frac{7}{27} - \frac{4}{27} = \frac{7 - 4}{27} = \frac{3}{27} \] Съкращаваме на \( 3 \): \[ \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{27}_9} = \frac{1}{9} \]

3. Пресмятане на \( \frac{31}{25} - \frac{6}{25} \)

Изваждаме числителите: \[ \frac{31}{25} - \frac{6}{25} = \frac{31 - 6}{25} = \frac{25}{25} = 1 \]

4. Пресмятане на \( \frac{12}{24} - \frac{1}{2} \)

Първо съкращаваме дробта \( \frac{12}{24} \) на \( 12 \): \[ \frac{\cancel{12}^1}{\cancel{24}_2} = \frac{1}{2} \] Изваждаме дробите: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \]

в)

1. Пресмятане на \( 1 - \frac{3}{5} \)

Преобразуваме цялото число \( 1 \) в дроб със знаменател \( 5 \): \[ 1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5 - 3}{5} = \frac{2}{5} \]

2. Пресмятане на \( 2 - \frac{5}{8} \)

Преобразуваме числото \( 2 \) в дроб със знаменател \( 8 \): \[ 2 - \frac{5}{8} = \frac{16}{8} - \frac{5}{8} = \frac{16 - 5}{8} = \frac{11}{8} \] Превръщаме в смесено число: \[ \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} \]

3. Пресмятане на \( 3 - \frac{15}{13} \)

Преобразуваме числото \( 3 \) в дроб със знаменател \( 13 \): \[ 3 - \frac{15}{13} = \frac{39}{13} - \frac{15}{13} = \frac{39 - 15}{13} = \frac{24}{13} \] Превръщаме в смесено число: \[ \frac{24}{13} = 1\frac{11}{13} \]

4. Пресмятане на \( \frac{28}{17} - 1 \)

Преобразуваме числото \( 1 \) в дроб със знаменател \( 17 \): \[ \frac{28}{17} - 1 = \frac{28}{17} - \frac{17}{17} = \frac{28 - 17}{17} = \frac{11}{17} \]

г)

1. Пресмятане на \( \frac{2}{3} + \frac{1}{7} \)

Намираме най-малкия общ знаменател \( \text{НОЗ} = \text{НОК}(3, 7) = 21 \): \[ \frac{2^{\,(7)}}{3} + \frac{1^{\,(3)}}{7} = \frac{14}{21} + \frac{3}{21} = \frac{17}{21} \]

2. Пресмятане на \( \frac{7}{24} + \frac{1}{8} \)

Тъй като \( 24 \) се дели на \( 8 \), \( \text{НОЗ} = 24 \): \[ \frac{7}{24} + \frac{1^{\,(3)}}{8} = \frac{7}{24} + \frac{3}{24} = \frac{10}{24} \] Съкращаваме на \( 2 \): \[ \frac{\cancel{10}^5}{\cancel{24}_{12}} = \frac{5}{12} \]

3. Пресмятане на \( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} \)

Намираме \( \text{НОК}(12, 18) \): \[ \begin{array}{ll|l} 12 & 18 & 2 \\ 6 & 9 & 2 \\ 3 & 9 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] \[ \text{НОК}(12, 18) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36 \] Привеждаме към общ знаменател \( 36 \): \[ \frac{1^{\,(3)}}{12} + \frac{1^{\,(2)}}{18} = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36} \]

4. Пресмятане на \( \frac{3}{45} + \frac{1}{15} \)

Първо съкращаваме дробта \( \frac{3}{45} \) на \( 3 \): \[ \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{45}_{15}} = \frac{1}{15} \] Събираме дробите с еднакви знаменатели: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \]

5. Пресмятане на \( \frac{5}{7} - \frac{5}{9} \)

Намираме \( \text{НОЗ} = \text{НОК}(7, 9) = 63 \): \[ \frac{5^{\,(9)}}{7} - \frac{5^{\,(7)}}{9} = \frac{45}{63} - \frac{35}{63} = \frac{10}{63} \]

6. Пресмятане на \( \frac{4}{9} - \frac{7}{36} \)

Тъй като \( 36 \) се дели на \( 9 \), \( \text{НОЗ} = 36 \): \[ \frac{4^{\,(4)}}{9} - \frac{7}{36} = \frac{16}{36} - \frac{7}{36} = \frac{9}{36} \] Съкращаваме на \( 9 \): \[ \frac{\cancel{9}^1}{\cancel{36}_4} = \frac{1}{4} \]

7. Пресмятане на \( \frac{5}{12} - \frac{2}{9} \)

Намираме \( \text{НОЗ} = \text{НОК}(12, 9) = 36 \): \[ \frac{5^{\,(3)}}{12} - \frac{2^{\,(4)}}{9} = \frac{15}{36} - \frac{8}{36} = \frac{7}{36} \]

8. Пресмятане на \( \frac{25}{100} - \frac{1}{8} \)

Първо съкращаваме дробта \( \frac{25}{100} \) на \( 25 \): \[ \frac{\cancel{25}^1}{\cancel{100}_4} = \frac{1}{4} \] Привеждаме към общ знаменател \( \text{НОЗ} = 8 \): \[ \frac{1^{\,(2)}}{4} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \]

а)

\[ \frac{1}{12}+\frac{5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \] \[ \frac{3}{7}+\frac{4}{7}=\frac{7}{7}=1 \] \[ \frac{7}{11}+\frac{15}{11}=\frac{22}{11}=2 \] \[ \frac{7}{9}+\frac{8}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} \]

б)

\[ \frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \] \[ \frac{7}{27}-\frac{4}{27}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9} \] \[ \frac{31}{25}-\frac{6}{25}=\frac{25}{25}=1 \] \[ \frac{12}{24}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0 \]

в)

\[ 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5} \] \[ 2-\frac{5}{8}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8} \] \[ 3-\frac{15}{13}=\frac{24}{13}=1\frac{11}{13} \] \[ \frac{28}{17}-1=\frac{11}{17} \]

г)

\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{7}=\frac{14+3}{21}=\frac{17}{21} \] \[ \frac{7}{24}+\frac{1}{8}=\frac{7+3}{24}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12} \] \[ \frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3+2}{36}=\frac{5}{36} \] \[ \frac{3}{45}+\frac{1}{15}=\frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{2}{15} \] \[ \frac{5}{7}-\frac{5}{9}=\frac{45-35}{63}=\frac{10}{63} \] \[ \frac{4}{9}-\frac{7}{36}=\frac{16-7}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4} \] \[ \frac{5}{12}-\frac{2}{9}=\frac{15-8}{36}=\frac{7}{36} \] \[ \frac{25}{100}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8} \]