Най-важното от урока
Основна формула: Обемът на цилиндър е \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\).
Мерни единици: Винаги преобразувайте размерите (радиус, височина) в една и съща мерна единица преди изчисление. Например, за да получите обем в \(\text{cm}^3\), всички размери трябва да са в \(\text{cm}\).
Практически съвети:
Мерни единици: Винаги преобразувайте размерите (радиус, височина) в една и съща мерна единица преди изчисление. Например, за да получите обем в \(\text{cm}^3\), всички размери трябва да са в \(\text{cm}\).
Практически съвети:
- За вместимост в литри, изчислявайте обема в \(\text{dm}^3\) (\(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3\)).
- Ако е даден диаметър \(d\), първо намерете радиуса \(r = d/2\).
- За да намерите тегло, умножете обема по специфичното тегло на материала.
Обемът на цилиндър се намира, като се умножи лицето на основата му (\(B\)) по неговата височина (\(h\)). Тъй като основата е кръг с лице \(B = \pi \cdot r^2\), формулата за обем е:
\[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \] където \(V\) е обемът, \(r\) е радиусът на основата, а \(h\) е височината.
Намерете обема на цилиндър с радиус \(r = 5 \text{ cm}\) и височина \(h = 10 \text{ cm}\).
\(V = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \text{ cm}^3\).
\(V = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \text{ cm}^3\).
Изчислете обема на цилиндър с диаметър на основата \(d = 4 \text{ m}\) и височина \(h = 3 \text{ m}\).
Първо намираме радиуса: \(r = d : 2 = 4 : 2 = 2 \text{ m}\).
Заместваме във формулата: \(V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi \text{ m}^3\).
Заместваме във формулата: \(V = \pi \cdot 2^2 \cdot 3 = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12\pi \text{ m}^3\).
Ако обемът и един от размерите (радиус или височина) са известни, можем да намерим другия размер, като преобразуваме формулата за обем.
Намерете височината на цилиндър с радиус \(r = 5 \text{ cm}\) и обем \(V = 175\pi \text{ cm}^3\).
От \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\) следва \(175\pi = \pi \cdot 5^2 \cdot h\).
\(175\pi = 25\pi \cdot h\)
\(h = \frac{175\pi}{25\pi} = 7 \text{ cm}\)
От \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\) следва \(175\pi = \pi \cdot 5^2 \cdot h\).
\(175\pi = 25\pi \cdot h\)
\(h = \frac{175\pi}{25\pi} = 7 \text{ cm}\)
Цилиндър има обем \(320\pi \text{ cm}^3\) и височина \(h = 5 \text{ cm}\). Намерете радиуса му.
От \(V = \pi \cdot r^2 \cdot h\) заместваме: \(320\pi = \pi \cdot r^2 \cdot 5\).
Делим двете страни на \(5\pi\): \(\frac{320\pi}{5\pi} = r^2\).
\(r^2 = 64\), следователно \(r = 8 \text{ cm}\).
Делим двете страни на \(5\pi\): \(\frac{320\pi}{5\pi} = r^2\).
\(r^2 = 64\), следователно \(r = 8 \text{ cm}\).
Формулата за обем се използва за решаване на практически задачи, като изчисляване на вместимост на съдове или тегло на предмети.
Полезни връзки:
- Вместимост: \(1 \text{ литър} = 1 \text{ dm}^3\)
- Тегло: \(\text{Тегло} = \text{Обем} \cdot \text{Специфично тегло}\)
Колко литра вода вмества варел с радиус \(r=4 \text{ dm}\) и височина \(h=10 \text{ dm}\)?
1. Изчисляваме обема в dm³: \(V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi \text{ dm}^3\).
2. Преобразуваме в литри: \(V = 160\pi \text{ L} \approx 160 \cdot 3.14 \approx 502.4 \text{ L}\).
1. Изчисляваме обема в dm³: \(V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi \text{ dm}^3\).
2. Преобразуваме в литри: \(V = 160\pi \text{ L} \approx 160 \cdot 3.14 \approx 502.4 \text{ L}\).
Плътно медно жило (\(\text{спец. тегло} \approx 8.9 \text{ g/cm}^3\)) има дължина \(1 \text{ m}\) и диаметър \(2 \text{ cm}\). Колко тежи то?
1. Преобразуваме мерните единици в cm:
\(h = 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)
\(d = 2 \text{ cm} \Rightarrow r = 1 \text{ cm}\)
2. Намираме обема: \(V = \pi \cdot 1^2 \cdot 100 = 100\pi \approx 314 \text{ cm}^3\).
3. Изчисляваме теглото: \(\text{Тегло} \approx 314 \text{ cm}^3 \cdot 8.9 \text{ g/cm}^3 \approx 2794.6 \text{ g} \approx 2.8 \text{ kg}\).
\(h = 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\)
\(d = 2 \text{ cm} \Rightarrow r = 1 \text{ cm}\)
2. Намираме обема: \(V = \pi \cdot 1^2 \cdot 100 = 100\pi \approx 314 \text{ cm}^3\).
3. Изчисляваме теглото: \(\text{Тегло} \approx 314 \text{ cm}^3 \cdot 8.9 \text{ g/cm}^3 \approx 2794.6 \text{ g} \approx 2.8 \text{ kg}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете обема на цилиндър с радиус \(r=10 \text{ cm}\) и височина \(h=5 \text{ cm}\).
\(V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 10^2 \cdot 5 = \pi \cdot 100 \cdot 5 = 500\pi \text{ cm}^3\).
Средна: Цилиндричен резервоар има вместимост \(45\pi \text{ m}^3\). Височината му е \(5 \text{ m}\). Намерете диаметъра на основата му.
1. Намираме радиуса от формулата за обем:
\(V = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow 45\pi = \pi \cdot r^2 \cdot 5\)
\(r^2 = \frac{45\pi}{5\pi} = 9 \Rightarrow r = 3 \text{ m}\)
2. Намираме диаметъра:
\(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6 \text{ m}\).
\(V = \pi \cdot r^2 \cdot h \Rightarrow 45\pi = \pi \cdot r^2 \cdot 5\)
\(r^2 = \frac{45\pi}{5\pi} = 9 \Rightarrow r = 3 \text{ m}\)
2. Намираме диаметъра:
\(d = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6 \text{ m}\).
Трудна: От метален цилиндър с радиус \(R=6 \text{ cm}\) и височина \(h=10 \text{ cm}\) е пробит отвор, който също е цилиндър със същата височина и радиус на основата \(r=3 \text{ cm}\). Намерете обема на останалата част (получената тръба).
1. Обем на големия цилиндър: \(V_1 = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot 6^2 \cdot 10 = 360\pi \text{ cm}^3\).
2. Обем на отвора (малкия цилиндър): \(V_2 = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \text{ cm}^3\).
3. Обем на останалата част: \(V = V_1 - V_2 = 360\pi - 90\pi = 270\pi \text{ cm}^3\).
2. Обем на отвора (малкия цилиндър): \(V_2 = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 3^2 \cdot 10 = 90\pi \text{ cm}^3\).
3. Обем на останалата част: \(V = V_1 - V_2 = 360\pi - 90\pi = 270\pi \text{ cm}^3\).
