Най-важното от урока
За да намерите повърхнината на цилиндър с радиус \(r\) и височина \(h\), запомнете:
- Лице на околна повърхнина (етикета): \(S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\).
- Лице на пълна повърхнина (етикет + 2 капачки): \(S_1 = S + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)\).
Повърхнината на прав кръгов цилиндър се състои от две кръгли основи и една околна повърхнина. В разгънат вид околната повърхнина е правоъгълник.
- Околна повърхнина (S): Правоъгълник със страни, равни на височината на цилиндъра (\(h\)) и обиколката на основата (\(2\pi r\)).
- Основи (B): Два еднакви кръга с радиус \(r\).
- Пълна повърхнина (S₁): Сборът от околната повърхнина и лицата на двете основи.
Лицето на околната повърхнина е равно на произведението от обиколката на основата (\(P_{осн}\)) и височината (\(h\)) на цилиндъра.
\[ S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \]
където \(r\) е радиусът на основата, а \(h\) е височината.
Цилиндър има радиус \(r = 3\) cm и височина \(h = 10\) cm. Околната му повърхнина е:
\[ S = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на околната повърхнина на цилиндър с диаметър на основата \(d = 10\) cm и височина \(h = 8\) cm.
Първо намираме радиуса: \(r = d/2 = 10/2 = 5\) cm.
Заместваме във формулата: \[ S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 8 = 80\pi \text{ cm}^2 \]
Заместваме във формулата: \[ S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 8 = 80\pi \text{ cm}^2 \]
Лицето на пълната повърхнина е сбор от лицето на околната повърхнина (\(S\)) и лицата на двете основи (\(2 \cdot B\)).
\[ S_1 = S + 2B = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r) \]
където лицето на една основа е \(B = \pi r^2\).
За цилиндър с \(r = 3\) cm и \(h = 10\) cm, пълната повърхнина е:
Околната повърхнина е \(S = 60\pi \text{ cm}^2\).
Лицето на едната основа е \(B = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2\). \[ S_1 = S + 2B = 60\pi + 2 \cdot 9\pi = 60\pi + 18\pi = 78\pi \text{ cm}^2 \]
Околната повърхнина е \(S = 60\pi \text{ cm}^2\).
Лицето на едната основа е \(B = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2\). \[ S_1 = S + 2B = 60\pi + 2 \cdot 9\pi = 60\pi + 18\pi = 78\pi \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на пълната повърхнина на цилиндър с радиус \(r=2\) cm и височина \(h=5\) cm.
Използваме директно изведената формула:
\[ S_1 = 2\pi r(h+r) = 2\pi \cdot 2(5+2) = 4\pi \cdot 7 = 28\pi \text{ cm}^2 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на околната и пълната повърхнина на прав кръгов цилиндър с радиус \(r=1\) cm и височина \(h=4\) cm.
Околна повърхнина: \(S = 2\pi rh = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 4 = 8\pi \text{ cm}^2\).
Лице на основите: \(2B = 2 \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi \text{ cm}^2\).
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 8\pi + 2\pi = 10\pi \text{ cm}^2\).
Лице на основите: \(2B = 2 \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi \text{ cm}^2\).
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 8\pi + 2\pi = 10\pi \text{ cm}^2\).
Средна: Лицето на околната повърхнина на цилиндър е \(100\pi \text{ cm}^2\), а височината му е \(10\) cm. Намерете радиуса на основата и лицето на пълната повърхнина на цилиндъра.
1. Намиране на радиуса \(r\):
\[ S = 2\pi rh \implies 100\pi = 2\pi r \cdot 10 \implies 100\pi = 20\pi r \implies r = \frac{100\pi}{20\pi} = 5 \text{ cm} \]
2. Намиране на лицето на основите \(2B\):
\[ 2B = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 5^2 = 2\pi \cdot 25 = 50\pi \text{ cm}^2 \]
3. Намиране на пълната повърхнина \(S_1\):
\[ S_1 = S + 2B = 100\pi + 50\pi = 150\pi \text{ cm}^2 \]
Трудна: Метален варел без капак има диаметър \(1\) m и височина \(1.2\) m. Колко боя е необходима за боядисването му отвън, ако за \(1 \text{ m}^2\) са нужни \(150\) g боя? (Използвайте \(\pi \approx 3.14\)).
Тъй като варелът е без капак, повърхнината за боядисване се състои от околната повърхнина (\(S\)) и само една основа (\(B\)).
1. Намираме радиуса: \(d=1 \text{ m} \implies r = 0.5 \text{ m}\).
2. Изчисляваме околната повърхнина: \[ S = 2\pi rh = 2 \cdot 3.14 \cdot 0.5 \cdot 1.2 = 3.14 \cdot 1.2 = 3.768 \text{ m}^2 \] 3. Изчисляваме лицето на основата (дъното): \[ B = \pi r^2 = 3.14 \cdot (0.5)^2 = 3.14 \cdot 0.25 = 0.785 \text{ m}^2 \] 4. Обща площ за боядисване: \[ S_{общо} = S + B = 3.768 + 0.785 = 4.553 \text{ m}^2 \] 5. Количество боя: \[ \text{Боя} = 4.553 \cdot 150 = 682.95 \text{ g} \] Отговор: Необходими са приблизително \(683\) g боя.
1. Намираме радиуса: \(d=1 \text{ m} \implies r = 0.5 \text{ m}\).
2. Изчисляваме околната повърхнина: \[ S = 2\pi rh = 2 \cdot 3.14 \cdot 0.5 \cdot 1.2 = 3.14 \cdot 1.2 = 3.768 \text{ m}^2 \] 3. Изчисляваме лицето на основата (дъното): \[ B = \pi r^2 = 3.14 \cdot (0.5)^2 = 3.14 \cdot 0.25 = 0.785 \text{ m}^2 \] 4. Обща площ за боядисване: \[ S_{общо} = S + B = 3.768 + 0.785 = 4.553 \text{ m}^2 \] 5. Количество боя: \[ \text{Боя} = 4.553 \cdot 150 = 682.95 \text{ g} \] Отговор: Необходими са приблизително \(683\) g боя.
