Най-важното от урока
Пропорция: Равенство на две отношения \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
Основно свойство: \(a \cdot d = b \cdot c\). Използва се за намиране на неизвестен член. Пример: \( \frac{x}{2} = \frac{6}{4} \implies 4x = 12 \implies x=3 \).
Права пропорционалност: Когато едното расте, и другото расте. Пример: Повече купени стоки = по-висока цена.
Обратна пропорционалност: Когато едното расте, другото намалява. Пример: По-висока скорост = по-малко време за пътуване.
Основно свойство: \(a \cdot d = b \cdot c\). Използва се за намиране на неизвестен член. Пример: \( \frac{x}{2} = \frac{6}{4} \implies 4x = 12 \implies x=3 \).
Права пропорционалност: Когато едното расте, и другото расте. Пример: Повече купени стоки = по-висока цена.
Обратна пропорционалност: Когато едното расте, другото намалява. Пример: По-висока скорост = по-малко време за пътуване.
Пропорцията е равенство на две отношения (дроби). Членовете \(a\) и \(d\) се наричат външни (крайни) членове, а \(b\) и \(c\) се наричат вътрешни (средни) членове.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{или} \quad a:b = c:d \]
(чете се "a се отнася към b, както c се отнася към d")
Равенството \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \) е пропорция, защото и двете отношения са равни на 0,5. Тук 1 и 10 са външни членове, а 2 и 5 са вътрешни.
Пропорция ли е равенството \( 2:3 = 8:12 \)?
Да, защото \(\frac{2}{3}\) е равно на \(\frac{8}{12}\) (след съкращаване на 4).
Произведението на външните членове е равно на произведението на вътрешните членове. Това свойство се използва за проверка на пропорции и за намиране на неизвестен член.
\[ \text{Ако } \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \text{ то } a \cdot d = b \cdot c \]
За да намерим \(x\) в пропорцията \( \frac{x}{3} = \frac{4}{6} \), прилагаме основното свойство:
\[ x \cdot 6 = 3 \cdot 4 \]
\[ 6x = 12 \]
\[ x = 2 \]
Намерете неизвестния член \(x\) в пропорцията \( 5:2 = 10:x \).
От основното свойство имаме \(5 \cdot x = 2 \cdot 10\).
\(5x = 20\)
\(x = 4\)
\(5x = 20\)
\(x = 4\)
Две величини са в права пропорционалност, ако с увеличаването (или намаляването) на едната, другата се увеличава (или намалява) със същия коефициент. Тяхното отношение е постоянна величина.
\[ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \]
Камион изминава 176 km с 16 L гориво. Колко километра ще измине с 30 L?
Повече гориво означава повече изминато разстояние (права пропорционалност). \[ \frac{176 \text{ km}}{16 \text{ L}} = \frac{x \text{ km}}{30 \text{ L}} \implies x = \frac{176 \cdot 30}{16} = 330 \text{ km} \]
Повече гориво означава повече изминато разстояние (права пропорционалност). \[ \frac{176 \text{ km}}{16 \text{ L}} = \frac{x \text{ km}}{30 \text{ L}} \implies x = \frac{176 \cdot 30}{16} = 330 \text{ km} \]
Ако 5 химикалки струват 10 лв., колко ще струват 8 такива химикалки?
Нека цената е \(x\). Съставяме пропорцията: \(\frac{5}{10} = \frac{8}{x}\).
\(5 \cdot x = 10 \cdot 8 \implies 5x = 80 \implies x = 16\) лв.
\(5 \cdot x = 10 \cdot 8 \implies 5x = 80 \implies x = 16\) лв.
Две величини са в обратна пропорционалност, ако с увеличаването на едната, другата намалява със същия коефициент. Тяхното произведение е постоянна величина.
\[ y_1 \cdot x_1 = y_2 \cdot x_2 \quad \text{или} \quad \frac{y_2}{y_1} = \frac{x_1}{x_2} \]
16 машини изпълняват поръчка за 30 часа. За колко часа ще я изпълнят 12 машини?
По-малко машини означава повече време (обратна пропорционалност). \[ \frac{x \text{ ч.}}{30 \text{ ч.}} = \frac{16 \text{ м.}}{12 \text{ м.}} \implies x = \frac{30 \cdot 16}{12} = 40 \text{ часа} \]
По-малко машини означава повече време (обратна пропорционалност). \[ \frac{x \text{ ч.}}{30 \text{ ч.}} = \frac{16 \text{ м.}}{12 \text{ м.}} \implies x = \frac{30 \cdot 16}{12} = 40 \text{ часа} \]
Една кола изминава разстояние за 4 часа, движейки се със скорост 90 km/h. За колко време ще измине същото разстояние, ако се движи с 60 km/h?
Нека времето е \(x\). По-ниска скорост означава повече време.
Съставяме пропорцията: \(\frac{x}{4} = \frac{90}{60}\).
\(x = \frac{4 \cdot 90}{60} = \frac{360}{60} = 6\) часа.
Съставяме пропорцията: \(\frac{x}{4} = \frac{90}{60}\).
\(x = \frac{4 \cdot 90}{60} = \frac{360}{60} = 6\) часа.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете неизвестния член \(x\) в пропорцията \( \frac{x}{4} = \frac{9}{12} \).
Прилагаме основното свойство: \( x \cdot 12 = 4 \cdot 9 \).
\( 12x = 36 \)
\( x = \frac{36}{12} = 3 \)
\( 12x = 36 \)
\( x = \frac{36}{12} = 3 \)
Средна: За приготвянето на 5 порции крем са необходими 2 яйца. Колко яйца са необходими за 15 порции?
Зависимостта е правопропорционална. Нека нужните яйца са \(x\).
Пропорцията е: \( \frac{5 \text{ порции}}{2 \text{ яйца}} = \frac{15 \text{ порции}}{x \text{ яйца}} \).
\( 5 \cdot x = 2 \cdot 15 \implies 5x = 30 \implies x = 6 \) яйца.
Пропорцията е: \( \frac{5 \text{ порции}}{2 \text{ яйца}} = \frac{15 \text{ порции}}{x \text{ яйца}} \).
\( 5 \cdot x = 2 \cdot 15 \implies 5x = 30 \implies x = 6 \) яйца.
Трудна: Един басейн се пълни от 3 тръби за 8 часа. За колко часа ще се напълни същият басейн, ако работят 4 такива тръби?
Зависимостта е обратнопропорционална (повече тръби = по-малко време). Нека търсеното време е \(x\).
Пропорцията е: \( \frac{x}{8} = \frac{3}{4} \).
\( 4 \cdot x = 8 \cdot 3 \implies 4x = 24 \implies x = 6 \) часа.
Пропорцията е: \( \frac{x}{8} = \frac{3}{4} \).
\( 4 \cdot x = 8 \cdot 3 \implies 4x = 24 \implies x = 6 \) часа.
