Най-важното от урока
Права пропорционалност е връзка между две величини \(x\) и \(y\), която се описва с формулата \(y = kx\).
Коефициентът на пропорционалност \(k\) е постоянна величина и се намира като \(k = \frac{y}{x}\).
Основно свойство: Ако \(x\) се увеличи няколко пъти, \(y\) се увеличава същия брой пъти (при \(k > 0\)). Пример: ако удвоим купеното количество (\(x\)), ще платим двойна цена (\(y\)).
Проверка: За всяка двойка стойности \((x, y)\) отношението \(\frac{y}{x}\) трябва да е едно и също.
Коефициентът на пропорционалност \(k\) е постоянна величина и се намира като \(k = \frac{y}{x}\).
Основно свойство: Ако \(x\) се увеличи няколко пъти, \(y\) се увеличава същия брой пъти (при \(k > 0\)). Пример: ако удвоим купеното количество (\(x\)), ще платим двойна цена (\(y\)).
Проверка: За всяка двойка стойности \((x, y)\) отношението \(\frac{y}{x}\) трябва да е едно и също.
За две величини \(x\) и \(y\) казваме, че са правопропорционални, ако зависимостта между тях е от вида \(y = kx\), където \(k\) е число, различно от нула.
Числото \(k\) се нарича коефициент на пропорционалност.
Периметърът \(P\) на равностранен триъгълник е правопропорционален на дължината на страната му \(a\). Зависимостта е \(P = 3a\). Тук коефициентът на пропорционалност е \(k=3\).
Един сладолед струва 2,50 лв. Зависимостта между сумата за плащане \(y\) и броя закупени сладоледи \(x\) е \(y = 2.5x\). Какъв е коефициентът на пропорционалност?
Отговор: Коефициентът на пропорционалност е \(k = 2.5\).
Ако величините \(x\) и \(y\) са правопропорционални, то отношението на всяка стойност на \(y\) към съответната ѝ стойност на \(x\) (без \(x=0\)) е постоянна величина, равна на коефициента \(k\).
\[ \frac{y}{x} = k \]
От това следва, че за две двойки стойности \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) е вярно:
\[ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \]
Ако за 2 часа един турист изминава 8 km, колко километра ще измине за 3 часа, движейки се със същата скорост?
Нека \(x\) е времето (h), а \(y\) е разстоянието (km). Имаме \(x_1 = 2\), \(y_1 = 8\) и \(x_2 = 3\), \(y_2 = ?\).
От свойството \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\) получаваме \(\frac{8}{2} = \frac{y_2}{3}\).
Следователно \(4 = \frac{y_2}{3}\), откъдето \(y_2 = 4 \cdot 3 = 12\) km.
Нека \(x\) е времето (h), а \(y\) е разстоянието (km). Имаме \(x_1 = 2\), \(y_1 = 8\) и \(x_2 = 3\), \(y_2 = ?\).
От свойството \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\) получаваме \(\frac{8}{2} = \frac{y_2}{3}\).
Следователно \(4 = \frac{y_2}{3}\), откъдето \(y_2 = 4 \cdot 3 = 12\) km.
Величините \(x\) и \(y\) са правопропорционални. Ако за \(x=5\) се получава \(y=20\), намерете \(y\) при \(x=7\).
От \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\) имаме \(\frac{20}{5} = \frac{y_2}{7}\).
Това дава \(4 = \frac{y_2}{7}\), следователно \(y_2 = 4 \cdot 7 = 28\).
Това дава \(4 = \frac{y_2}{7}\), следователно \(y_2 = 4 \cdot 7 = 28\).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е таблица със стойности на правопропорционалните величини \(x\) и \(y\). Намерете коефициента на пропорционалност \(k\).
| x | 1 | 2 | 4 |
| y | 5 | 10 | 20 |
Избираме произволна двойка стойности, например \(x=2, y=10\).
Коефициентът е \(k = \frac{y}{x} = \frac{10}{2} = 5\).
Отговор: \(k=5\).
Коефициентът е \(k = \frac{y}{x} = \frac{10}{2} = 5\).
Отговор: \(k=5\).
Средна: За приготвянето на 3 дози крем са необходими 450 g захар. Колко грама захар са необходими за приготвянето на 5 дози от същия крем?
Количеството захар е правопропорционално на броя дози. Нека \(x\) е броят дози, а \(y\) е количеството захар.
\(x_1 = 3, y_1 = 450\). Търсим \(y_2\) при \(x_2 = 5\).
Използваме \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \Rightarrow \frac{450}{3} = \frac{y_2}{5}\).
\(150 = \frac{y_2}{5} \Rightarrow y_2 = 150 \cdot 5 = 750\) g.
Отговор: Необходими са 750 g захар.
\(x_1 = 3, y_1 = 450\). Търсим \(y_2\) при \(x_2 = 5\).
Използваме \(\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \Rightarrow \frac{450}{3} = \frac{y_2}{5}\).
\(150 = \frac{y_2}{5} \Rightarrow y_2 = 150 \cdot 5 = 750\) g.
Отговор: Необходими са 750 g захар.
Трудна: Попълнете празните места в таблицата, като знаете, че \(y\) и \(x\) са в права пропорционалност. След това напишете формулата, която описва зависимостта.
| x | 3 | 5 | ? | 12 |
| y | 18 | ? | 42 | ? |
1. Намираме коефициента \(k\) от първата колона: \(k = \frac{y}{x} = \frac{18}{3} = 6\).
2. Формулата на зависимостта е \(y = 6x\).
3. Попълваме таблицата:
2. Формулата на зависимостта е \(y = 6x\).
3. Попълваме таблицата:
- При \(x=5\): \(y = 6 \cdot 5 = 30\).
- При \(y=42\): \(42 = 6x \Rightarrow x = \frac{42}{6} = 7\).
- При \(x=12\): \(y = 6 \cdot 12 = 72\).
