Най-важното от урока
Степенуване на частно: За да повдигнеш дроб на степен, повдигни на същата степен числителя и знаменателя поотделно.
Пример: \(\left(\frac{a}{5}\right)^2 = \frac{a^2}{5^2} = \frac{a^2}{25}\)
Обратно правило за опростяване: Ако делиш две степени с еднакви показатели, можеш първо да разделиш основите им.
Пример: \(\frac{10^4}{5^4} = \left(\frac{10}{5}\right)^4 = 2^4 = 16\)
Пример: \(\left(\frac{a}{5}\right)^2 = \frac{a^2}{5^2} = \frac{a^2}{25}\)
Обратно правило за опростяване: Ако делиш две степени с еднакви показатели, можеш първо да разделиш основите им.
Пример: \(\frac{10^4}{5^4} = \left(\frac{10}{5}\right)^4 = 2^4 = 16\)
Частно се степенува, като се степенуват поотделно делимото (числителя) и делителя (знаменателя) и получените резултати се разделят.
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad b \neq 0 \]
Пример с числа:
\[ \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125} \]
Пример с променливи:
\[ \left(\frac{2a}{3}\right)^3 = \frac{(2a)^3}{3^3} = \frac{2^3 \cdot a^3}{27} = \frac{8a^3}{27} \]
Пресметнете \(\left(\frac{3x}{4y}\right)^2\).
\[ \left(\frac{3x}{4y}\right)^2 = \frac{(3x)^2}{(4y)^2} = \frac{3^2 \cdot x^2}{4^2 \cdot y^2} = \frac{9x^2}{16y^2} \]
Частно на две степени с еднакви степенни показатели може да се запише като степен на частното на основите. Това правило е особено полезно за опростяване на изрази.
\[ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n, \quad b \neq 0 \]
Пресмятане по рационален начин:
\[ \frac{16^3}{32^3} = \left(\frac{16}{32}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \]
Представяне като степен:
\[ \frac{a^3}{27} = \frac{a^3}{3^3} = \left(\frac{a}{3}\right)^3 \]
Представете израза \(\frac{32x^5}{y^5}\) като степен.
Тъй като \(32 = 2^5\), можем да запишем:
\[ \frac{32x^5}{y^5} = \frac{2^5 \cdot x^5}{y^5} = \frac{(2x)^5}{y^5} = \left(\frac{2x}{y}\right)^5 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \(\left(\frac{1}{4}\right)^3\).
\[ \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64} \]
Средна: Пресметнете по рационален начин \(\frac{0,15^3}{0,03^3}\).
Прилагаме правилото \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\):
\[ \frac{0,15^3}{0,03^3} = \left(\frac{0,15}{0,03}\right)^3 = \left(\frac{15}{3}\right)^3 = 5^3 = 125 \]
Трудна: Представете израза \(\frac{32 \cdot x^5}{3125}\) като степен на частно.
Първо, разлагаме числата 32 и 3125 на прости множители, за да ги представим като степени:
\(32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5\)
\(3125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5\)
Сега заместваме в израза: \[ \frac{32 \cdot x^5}{3125} = \frac{2^5 \cdot x^5}{5^5} = \frac{(2x)^5}{5^5} = \left(\frac{2x}{5}\right)^5 \]
\(32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5\)
\(3125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5\)
Сега заместваме в израза: \[ \frac{32 \cdot x^5}{3125} = \frac{2^5 \cdot x^5}{5^5} = \frac{(2x)^5}{5^5} = \left(\frac{2x}{5}\right)^5 \]
