Най-важното от урока
Тъждество: Равенство, което е вярно за всяка стойност на променливата. Пример: \( a(b+c) = ab+ac \).
Доказване на тъждество: Преобразувайте едната или двете страни на равенството, докато станат напълно еднакви. Пример: \( (x-1)(x+1) = x^2 + x - x - 1 = x^2-1 \).
Опровергаване на тъждество: Намерете една стойност на променливата (контрапример), за която равенството не е вярно. Пример: За \( (x+1)^2 = x^2+1 \), ако \( x=2 \), получаваме \( 3^2=9 \) и \( 2^2+1=5 \). Тъй като \( 9 \neq 5 \), не е тъждество.
Доказване на тъждество: Преобразувайте едната или двете страни на равенството, докато станат напълно еднакви. Пример: \( (x-1)(x+1) = x^2 + x - x - 1 = x^2-1 \).
Опровергаване на тъждество: Намерете една стойност на променливата (контрапример), за която равенството не е вярно. Пример: За \( (x+1)^2 = x^2+1 \), ако \( x=2 \), получаваме \( 3^2=9 \) и \( 2^2+1=5 \). Тъй като \( 9 \neq 5 \), не е тъждество.
Два рационални израза се наричат тъждествено равни, ако за всички допустими стойности на променливите в тях те получават равни числени стойности.
Равенство, двете страни на което са тъждествено равни изрази, се нарича тъждество.
Изразите \( (x+2)(x-2) \) и \( x^2 - 4 \) са тъждествено равни, защото за всяка стойност на \(x\), те дават един и същ резултат. Следователно равенството \( (x+2)(x-2) = x^2 - 4 \) е тъждество.
Тъждество ли е равенството \( 5a - a = 4a \)?
Отговор: Да. Това е правилото за изваждане на подобни едночлени и е вярно за всяка стойност на \(a\).
За да докажем, че едно равенство е тъждество, можем да използваме един от следните подходи:
- Да преобразуваме лявата страна, докато получим дясната.
- Да преобразуваме дясната страна, докато получим лявата.
- Да преобразуваме двете страни поотделно, докато получим един и същ израз.
Да докажем тъждеството \( (2x - 3)(x + 2) = 2x^2 + x - 6 \).
Ще преобразуваме лявата страна: \[ (2x - 3)(x + 2) = 2x(x+2) - 3(x+2) = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x^2 + x - 6 \] Тъй като получихме дясната страна, равенството е доказано тъждество.
Ще преобразуваме лявата страна: \[ (2x - 3)(x + 2) = 2x(x+2) - 3(x+2) = 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 2x^2 + x - 6 \] Тъй като получихме дясната страна, равенството е доказано тъждество.
Докажете, че равенството \( (y+3)^2 = y^2 + 6y + 9 \) е тъждество.
Преобразуваме лявата страна: \( (y+3)^2 = (y+3)(y+3) = y^2 + 3y + 3y + 9 = y^2 + 6y + 9 \). Получихме дясната страна, следователно е тъждество.
За да докажем, че едно равенство НЕ е тъждество, е достатъчно да намерим поне една стойност на променливата, за която двете страни на равенството имат различни числени стойности. Този метод се нарича метод на контрапримера.
Намирането на стойност, за която равенството е вярно, НЕ доказва, че то е тъждество.
Да покажем, че равенството \( (x-1)^2 = x^2 - 1 \) не е тъждество.
Ще изберем произволна стойност за \(x\), например \(x=3\).
Лява страна: \( (3-1)^2 = 2^2 = 4 \).
Дясна страна: \( 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \).
Тъй като \( 4 \neq 8 \), равенството не е тъждество.
Ще изберем произволна стойност за \(x\), например \(x=3\).
Лява страна: \( (3-1)^2 = 2^2 = 4 \).
Дясна страна: \( 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 \).
Тъй като \( 4 \neq 8 \), равенството не е тъждество.
Покажете, че равенството \( a(a+2) = a^2 + 2 \) не е тъждество.
Нека \(a=1\).
Лява страна: \( 1(1+2) = 1 \cdot 3 = 3 \).
Дясна страна: \( 1^2 + 2 = 1+2 = 3 \).
Равенството е вярно за \(a=1\), но това не го доказва. Нека пробваме с \(a=2\).
Лява страна: \( 2(2+2) = 2 \cdot 4 = 8 \).
Дясна страна: \( 2^2 + 2 = 4+2 = 6 \).
Тъй като \( 8 \neq 6 \), равенството не е тъждество.
Лява страна: \( 1(1+2) = 1 \cdot 3 = 3 \).
Дясна страна: \( 1^2 + 2 = 1+2 = 3 \).
Равенството е вярно за \(a=1\), но това не го доказва. Нека пробваме с \(a=2\).
Лява страна: \( 2(2+2) = 2 \cdot 4 = 8 \).
Дясна страна: \( 2^2 + 2 = 4+2 = 6 \).
Тъй като \( 8 \neq 6 \), равенството не е тъждество.
Задачи за упражнение
Лесна: Тъждество ли е равенството \( 5(x-3) = 5x-15 \)? Докажете.
Да, тъждество е. Преобразуваме лявата страна чрез разкриване на скоби:
\[ 5(x-3) = 5 \cdot x - 5 \cdot 3 = 5x - 15 \]
Получихме дясната страна.
Средна: Докажете или опровергайте, че равенството \( (x-2)(x+5) = x(x+3)-10 \) е тъждество.
Равенството е тъждество. Ще преобразуваме двете страни поотделно.
Лява страна: \( (x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10 \).
Дясна страна: \( x(x+3)-10 = x^2 + 3x - 10 \).
Тъй като двете страни се преобразуват в един и същ израз, равенството е тъждество.
Лява страна: \( (x-2)(x+5) = x^2 + 5x - 2x - 10 = x^2 + 3x - 10 \).
Дясна страна: \( x(x+3)-10 = x^2 + 3x - 10 \).
Тъй като двете страни се преобразуват в един и същ израз, равенството е тъждество.
Трудна: Покажете, че равенството \( (x-1)(x^2+x+1) - 1 = x^3 - 2 \) не е тъждество.
Ще използваме метод на преобразуване на лявата страна.
\[ (x-1)(x^2+x+1) - 1 = (x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 1) - 1 \]
\[ = (x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1) - 1 \]
\[ = (x^3 - 1) - 1 = x^3 - 2 \]
Тъй като лявата страна е тъждествено равна на дясната, първоначалното заключение в условието е грешно. Равенството Е ТЪЖДЕСТВО.
Бележка: Понякога задачите могат да бъдат подвеждащи. Винаги проверявайте чрез доказателство.
Бележка: Понякога задачите могат да бъдат подвеждащи. Винаги проверявайте чрез доказателство.
