Най-важното от урока
Квадрат на сбор: \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\). Пример: \((x+3)^2=x^2+6x+9\).
Квадрат на разлика: \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\). Пример: \((2y-1)^2=4y^2-4y+1\).
Квадрат на тричлен: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\).
Приложение за пресмятане: \(51^2=(50+1)^2=2500+100+1=2601\).
Приложение за опростяване: Разкрийте скобите с формулите, след това приведете подобните членове.
Квадрат на разлика: \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\). Пример: \((2y-1)^2=4y^2-4y+1\).
Квадрат на тричлен: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\).
Приложение за пресмятане: \(51^2=(50+1)^2=2500+100+1=2601\).
Приложение за опростяване: Разкрийте скобите с формулите, след това приведете подобните членове.
Тъждествата за повдигане на двучлен на квадрат са основни формули в алгебрата, които служат за бързо разкриване на скоби.
\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Квадратът на сбора на два израза е равен на квадрата на първия, плюс два пъти произведението на първия и втория, плюс квадрата на втория.
\[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
Квадратът на разликата на два израза е равен на квадрата на първия, минус два пъти произведението на първия и втория, плюс квадрата на втория.
Да разкрием скобите на \((x+5)^2\).
Тук \(a = x\) и \(b = 5\).
\[ (x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \]
Тук \(a = x\) и \(b = 5\).
\[ (x+5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \]
Извършете степенуването: \((y-4)^2\).
Прилагаме формулата \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), където \(a=y\) и \(b=4\).
\[ (y-4)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 - 8y + 16 \]
Формулите важат и когато членовете \(a\) и \(b\) са по-сложни изрази (едночлени), съдържащи коефициенти, степени или няколко променливи.
Да извършим степенуването \((ax^2y^3 - \frac{1}{3}z^4)^2\).
Тук първият член е \(a = ax^2y^3\), а вторият е \(b = \frac{1}{3}z^4\). \[ (ax^2y^3 - \frac{1}{3}z^4)^2 = (ax^2y^3)^2 - 2 \cdot ax^2y^3 \cdot \frac{1}{3}z^4 + (\frac{1}{3}z^4)^2 = a^2x^4y^6 - \frac{2}{3}ax^2y^3z^4 + \frac{1}{9}z^8 \]
Тук първият член е \(a = ax^2y^3\), а вторият е \(b = \frac{1}{3}z^4\). \[ (ax^2y^3 - \frac{1}{3}z^4)^2 = (ax^2y^3)^2 - 2 \cdot ax^2y^3 \cdot \frac{1}{3}z^4 + (\frac{1}{3}z^4)^2 = a^2x^4y^6 - \frac{2}{3}ax^2y^3z^4 + \frac{1}{9}z^8 \]
Разкрийте скобите: \((3x^2 + 2y)^2\).
Прилагаме формулата за сбор на квадрат, където \(a=3x^2\) и \(b=2y\).
\[ (3x^2 + 2y)^2 = (3x^2)^2 + 2 \cdot (3x^2) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^4 + 12x^2y + 4y^2 \]
За да повдигнем тричлен на квадрат, можем да групираме два от членовете и да приложим формулата за двучлен.
\[ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \]
Квадратът на тричлен е равен на сбора от квадратите на трите члена плюс удвоените произведения на всеки два от тях.
Да повдигнем на квадрат \((a-b-c)^2\).
Можем да го представим като \((a+(-b)+(-c))^2\) и да приложим формулата:
\[ (a-b-c)^2 = a^2+(-b)^2+(-c)^2+2a(-b)+2a(-c)+2(-b)(-c) = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc \]
Разкрийте скобите: \((x+y-1)^2\).
Прилагаме формулата за тричлен, където \(a=x\), \(b=y\) и \(c=-1\).
\[ (x+y-1)^2 = x^2+y^2+(-1)^2+2xy+2x(-1)+2y(-1) = x^2+y^2+1+2xy-2x-2y \]
Формулите за съкратено умножение могат да се използват за бързо и лесно пресмятане на квадрати на числа, които са близки до кръгли числа (като 50, 100, 200 и т.н.).
Да пресметнем \(49^2\).
Представяме 49 като разлика: \(49 = 50 - 1\).
\[ 49^2 = (50-1)^2 = 50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401 \]
Пресметнете наум \(102^2\).
Представяме 102 като \(100+2\).
\[ 102^2 = (100+2)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404 \]
Едно от най-честите приложения на формулите е като първа стъпка при опростяване на по-сложни алгебрични изрази.
Разкрийте скобите, като приложите формулите за съкратено умножение.
Извършете останалите умножения (ако има).
Приведете подобните членове (съберете или извадете членовете с еднаква буквена част).
Да опростим израза \((a-1)^2+(a+1)^2-a(a-1)\).
\[ (a^2 - 2a + 1) + (a^2 + 2a + 1) - (a^2 - a) \]
\[ = a^2 - 2a + 1 + a^2 + 2a + 1 - a^2 + a \]
\[ = (a^2+a^2-a^2) + (-2a+2a+a) + (1+1) \]
\[ = a^2 + a + 2 \]
Опростете израза \((2-x)^2-(x+2)^2\).
\[ (2-x)^2-(x+2)^2 = (4-4x+x^2) - (x^2+4x+4) \]
\[ = 4-4x+x^2 - x^2-4x-4 \]
\[ = (x^2-x^2) + (-4x-4x) + (4-4) = -8x \]
Задачи за упражнение
Лесна: Като използвате формулите за съкратено умножение, пресметнете \(98^2\).
\[ 98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604 \]
Средна: Опростете израза \((2x-3)^2-(4x-3)(x+2)\).
\[ (2x-3)^2-(4x-3)(x+2) = (4x^2 - 12x + 9) - (4x^2 + 8x - 3x - 6) \]
\[ = 4x^2 - 12x + 9 - (4x^2 + 5x - 6) \]
\[ = 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 - 5x + 6 \]
\[ = -17x + 15 \]
Трудна: Докажете тъждеството \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\).
Разглеждаме лявата страна на равенството:
\(L = (a+b)^2 - (a-b)^2\)
Разкриваме скобите:
\(L = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\)
Премахваме вторите скоби, като сменяме знаците:
\(L = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\)
Групираме и съкращаваме подобните членове:
\(L = (a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 0 + 0 + 4ab = 4ab\)
Тъй като лявата страна \(L\) е равна на дясната \(D=4ab\), тъждеството е доказано.
\(L = (a+b)^2 - (a-b)^2\)
Разкриваме скобите:
\(L = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\)
Премахваме вторите скоби, като сменяме знаците:
\(L = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\)
Групираме и съкращаваме подобните членове:
\(L = (a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 0 + 0 + 4ab = 4ab\)
Тъй като лявата страна \(L\) е равна на дясната \(D=4ab\), тъждеството е доказано.
