Най-важното от урока
Ключови стъпки при решаване на задачи с обеми:
1. Уеднаквяване на мерните единици: Преди изчисления преобразувайте всички размери (mm, cm, m) в една и съща единица. За задачи с литри е удобно да се работи в дециметри (dm), защото \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3\).
2. Избор на правилна формула:
1. Уеднаквяване на мерните единици: Преди изчисления преобразувайте всички размери (mm, cm, m) в една и съща единица. За задачи с литри е удобно да се работи в дециметри (dm), защото \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3\).
2. Избор на правилна формула:
- Цилиндър: \(V = \pi r^2 h\)
- Кълбо: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)
- Конус: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)
- При претопяване: \(V_{начален} = V_{краен}\).
- За кухи тела: \(V_{материал} = V_{външен} - V_{вътрешен}\).
- За изчисляване на маса: \(\text{Маса} = \text{Обем} \cdot \text{Плътност}\).
При претопяване или преобразуване на даден предмет в друг, неговият обем остава непроменен. Обемът на изходния материал е равен на обема на крайния продукт.
Един конус от сребро с обем \(V = 25 \text{ cm}^3\) се претопява и от него се изработва кълбо. Какъв е обемът на кълбото?
Отговор: Обемът се запазва. Обемът на кълбото също е \(25 \text{ cm}^3\).
Обемът на материала, от който е направено кухо тяло (например тръба), се намира като от обема на цялата външна фигура се извади обемът на вътрешната кухина.
\[ V_{материал} = V_{външен} - V_{вътрешен} \]
Цилиндрична кашпа има външен радиус 10 cm, вътрешен радиус 8 cm и височина 15 cm. Намерете обема на материала, от който е направена.
\(V_{външен} = \pi \cdot 10^2 \cdot 15 = 1500\pi \text{ cm}^3\)
\(V_{вътрешен} = \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = 960\pi \text{ cm}^3\)
\(V_{материал} = 1500\pi - 960\pi = 540\pi \text{ cm}^3\)
\(V_{вътрешен} = \pi \cdot 8^2 \cdot 15 = 960\pi \text{ cm}^3\)
\(V_{материал} = 1500\pi - 960\pi = 540\pi \text{ cm}^3\)
Масата на даден предмет е равна на произведението от неговия обем и плътността на материала, от който е изграден.
\[ \text{Маса} = \text{Обем} \cdot \text{Плътност} \quad (m = V \cdot \rho) \]
Ако обемът на чугунена тръба е \(V = 15072 \text{ cm}^3\), а плътността на чугуна е \(\rho = 7.3 \text{ g/cm}^3\), то масата на тръбата е:
\[ \text{Маса} = 15072 \text{ cm}^3 \cdot 7.3 \text{ g/cm}^3 = 110025.6 \text{ g} \approx 110 \text{ kg} \]
Намерете масата на медна сфера с обем \(50 \text{ cm}^3\), ако плътността на медта е \(8.96 \text{ g/cm}^3\).
\(\text{Маса} = 50 \text{ cm}^3 \cdot 8.96 \text{ g/cm}^3 = 448 \text{ g}\)
Преди да започнете изчисленията, винаги се уверявайте, че всички размери са в еднакви мерни единици.
Ключови съотношения:
- \(1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm}\)
- \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3\)
- \(1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}\)
Диаметър \(d = 160 \text{ cm} = 16 \text{ dm} \Rightarrow r = 8 \text{ dm}\).
Височина \(h = 2 \text{ m} = 20 \text{ dm}\).
Един аквариум има размери 50 cm, 30 cm и височина 40 cm. Колко литра вода събира?
Преобразуваме размерите в dm: \(50 \text{ cm} = 5 \text{ dm}\), \(30 \text{ cm} = 3 \text{ dm}\), \(40 \text{ cm} = 4 \text{ dm}\).
\(V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \text{ dm}^3\).
Тъй като \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\), аквариумът събира 60 литра вода.
\(V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60 \text{ dm}^3\).
Тъй като \(1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}\), аквариумът събира 60 литра вода.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете обема на кълбо с радиус 10 cm. (Приемете \(\pi \approx 3.14\)).
Формулата за обем на кълбо е \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).
\(V = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 10^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 1000 = \frac{12560}{3} \approx 4186.67 \text{ cm}^3\).
\(V = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 10^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.14 \cdot 1000 = \frac{12560}{3} \approx 4186.67 \text{ cm}^3\).
Средна: Колко кофи с вместимост 8 литра са необходими, за да се напълни варел с формата на цилиндър с вътрешен диаметър 40 cm и височина 1 m? (Приемете \(\pi \approx 3.14\)).
1. Преобразуваме мерните единици в dm, за да получим обема в литри.
\(d = 40 \text{ cm} = 4 \text{ dm} \Rightarrow r = 2 \text{ dm}\).
\(h = 1 \text{ m} = 10 \text{ dm}\).
2. Намираме обема на варела:
\(V_{варел} = \pi r^2 h = 3.14 \cdot 2^2 \cdot 10 = 3.14 \cdot 40 = 125.6 \text{ dm}^3 = 125.6 \text{ L}\).
3. Намираме броя на кофите:
\(\text{Брой кофи} = \frac{V_{варел}}{V_{кофа}} = \frac{125.6}{8} = 15.7\).
Отговор: Необходими са 16 кофи (тъй като 15 няма да са достатъчни).
\(d = 40 \text{ cm} = 4 \text{ dm} \Rightarrow r = 2 \text{ dm}\).
\(h = 1 \text{ m} = 10 \text{ dm}\).
2. Намираме обема на варела:
\(V_{варел} = \pi r^2 h = 3.14 \cdot 2^2 \cdot 10 = 3.14 \cdot 40 = 125.6 \text{ dm}^3 = 125.6 \text{ L}\).
3. Намираме броя на кофите:
\(\text{Брой кофи} = \frac{V_{варел}}{V_{кофа}} = \frac{125.6}{8} = 15.7\).
Отговор: Необходими са 16 кофи (тъй като 15 няма да са достатъчни).
Трудна: От метален куб с ръб 20 cm е изрязан възможно най-големият конус (с основа, лежаща на една от стените на куба, и връх, допиращ се до срещуположната стена). Намерете обема на останалия материал (отпадъка).
1. Обемът на куба е \(V_{куб} = a^3 = 20^3 = 8000 \text{ cm}^3\).
2. Най-големият възможен конус ще има диаметър на основата, равен на ръба на куба (\(d=20\) cm \(\Rightarrow r=10\) cm), и височина, равна на ръба на куба (\(h=20\) cm).
3. Обемът на конуса е \(V_{конус} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 20 = \frac{2000}{3}\pi \text{ cm}^3\).
4. Обемът на отпадъка е разликата между двата обема:
\(V_{отпадък} = V_{куб} - V_{конус} = 8000 - \frac{2000}{3}\pi \text{ cm}^3\).
(Приблизително: \(8000 - \frac{2000 \cdot 3.14}{3} \approx 8000 - 2093.33 = 5906.67 \text{ cm}^3\)).
2. Най-големият възможен конус ще има диаметър на основата, равен на ръба на куба (\(d=20\) cm \(\Rightarrow r=10\) cm), и височина, равна на ръба на куба (\(h=20\) cm).
3. Обемът на конуса е \(V_{конус} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 10^2 \cdot 20 = \frac{2000}{3}\pi \text{ cm}^3\).
4. Обемът на отпадъка е разликата между двата обема:
\(V_{отпадък} = V_{куб} - V_{конус} = 8000 - \frac{2000}{3}\pi \text{ cm}^3\).
(Приблизително: \(8000 - \frac{2000 \cdot 3.14}{3} \approx 8000 - 2093.33 = 5906.67 \text{ cm}^3\)).
