Най-важното от урока
Степен с нулев показател: Всяко число (без 0) на степен 0 е 1. Пример: \( x^0 = 1 \).
Степен с отрицателен показател: Превръща степента в реципрочна с положителен показател. Пример: \( x^{-3} = \frac{1}{x^3} \).
Реципрочно число: Степен -1 обръща дробта. Пример: \( (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a} \).
Всички свойства за действия със степени важат и за целите показатели. Пример: \( 5^3 \cdot 5^{-5} = 5^{3-5} = 5^{-2} = \frac{1}{25} \).
Степен с отрицателен показател: Превръща степента в реципрочна с положителен показател. Пример: \( x^{-3} = \frac{1}{x^3} \).
Реципрочно число: Степен -1 обръща дробта. Пример: \( (\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a} \).
Всички свойства за действия със степени важат и за целите показатели. Пример: \( 5^3 \cdot 5^{-5} = 5^{3-5} = 5^{-2} = \frac{1}{25} \).
Всяко число (различно от нула), повдигнато на степен нула, е равно на 1.
\[ a^0 = 1, \quad (a \ne 0) \]
- \( 5^0 = 1 \)
- \( (-12.5)^0 = 1 \)
- \( (\frac{3}{4})^0 = 1 \)
Пресметнете стойността на израза \( 15^0 + (-8)^0 \).
\( 15^0 = 1 \) и \( (-8)^0 = 1 \).
Следователно, \( 1 + 1 = 2 \).
Следователно, \( 1 + 1 = 2 \).
Степен с цял отрицателен показател е равна на реципрочната стойност на основата, повдигната на същия, но положителен показател.
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad (a \ne 0) \]
Специален случай е \( a^{-1} = \frac{1}{a} \), което е реципрочното число на \( a \).
Например, \( (\frac{p}{q})^{-1} = \frac{q}{p} \).
Например, \( (\frac{p}{q})^{-1} = \frac{q}{p} \).
- \( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
- \( 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} \)
- \( (\frac{2}{5})^{-1} = \frac{5}{2} \)
Запишете \( 5^{-3} \) като обикновена дроб.
\( 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \)
Степените с нулев и отрицателен показател позволяват да записваме цели и десетични числа като сбор от степените на 10.
Цифрата на единиците се умножава по \( 10^0 \). Цифрите вдясно от десетичната запетая (десети, стотни, хилядни) се умножават съответно по \( 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3} \) и т.н.
Запис на числото 25.47 в разширен вид:
\[ 25.47 = 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{1}{10} + 7 \cdot \frac{1}{100} = 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^{-2} \]
Запишете числото, представено като сбор: \( 8 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0 + 3 \cdot 10^{-1} \).
\( 8 \cdot 10 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{10} = 80 + 0 + 0.3 = 80.3 \)
Правилата за действия със степени, които познаваме за естествен показател, остават валидни и за цял (положителен, отрицателен и нулев) показател.
- \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
- \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
- \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Опростете израза \( x^7 \cdot x^{-4} \).
\( x^7 \cdot x^{-4} = x^{7+(-4)} = x^{7-4} = x^3 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на \( (\frac{1}{4})^{-2} \).
\( (\frac{1}{4})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 16 \).
Друг начин: \( (\frac{1}{4})^{-2} = (4^{-1})^{-2} = 4^{(-1) \cdot (-2)} = 4^2 = 16 \).
Друг начин: \( (\frac{1}{4})^{-2} = (4^{-1})^{-2} = 4^{(-1) \cdot (-2)} = 4^2 = 16 \).
Средна: Запишете като степен с основа 2 числото \( \frac{1}{32} \).
Знаем, че \( 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \).
Тогава \( \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} \).
Като използваме правилото за отрицателен степенен показател, получаваме \( 2^{-5} \).
Тогава \( \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} \).
Като използваме правилото за отрицателен степенен показател, получаваме \( 2^{-5} \).
Трудна: Опростете израза \( \frac{(a^{-3} \cdot b^2)^2}{a^{-7} \cdot b^5} \) и го представете със степени с положителен показател.
\( (a^{-3} \cdot b^2)^2 = (a^{-3})^2 \cdot (b^2)^2 = a^{-3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = a^{-6} \cdot b^4 \)
\( \frac{a^{-6} \cdot b^4}{a^{-7} \cdot b^5} \)
\( \frac{a^{-6}}{a^{-7}} \cdot \frac{b^4}{b^5} = a^{-6 - (-7)} \cdot b^{4-5} = a^{-6+7} \cdot b^{-1} = a^1 \cdot b^{-1} \)
\( a^1 \cdot b^{-1} = a \cdot \frac{1}{b^1} = \frac{a}{b} \)
