Най-важното от урока
Свойство: В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват от пресечната си точка. (Ако ABCD е успоредник и \(AC \cap BD = O\), то \(AO = OC\) и \(BO = OD\)).
Признак: Ако диагоналите на един четириъгълник се разполовяват от пресечната си точка, то той е успоредник. (Ако за четириъгълник ABCD с пресечна точка O е вярно, че \(AO = OC\) и \(BO = OD\), то ABCD е успоредник).
Признак: Ако диагоналите на един четириъгълник се разполовяват от пресечната си точка, то той е успоредник. (Ако за четириъгълник ABCD с пресечна точка O е вярно, че \(AO = OC\) и \(BO = OD\), то ABCD е успоредник).
Диагоналите на всеки успоредник се пресичат в точка, която е среда и на двата диагонала (разполовяват се).
Ако в успоредник ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка O и \(AC = 12\) см, а \(BD = 16\) см, то:
- \(AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см
- \(BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см
В успоредник MNPQ диагоналите се пресичат в точка O. Ако \(MO = 5\) см и \(OQ = 7\) см, намерете дължините на диагоналите MP и NQ.
Тъй като диагоналите се разполовяват, \(MP = 2 \cdot MO = 2 \cdot 5 = 10\) см и \(NQ = 2 \cdot OQ = 2 \cdot 7 = 14\) см.
Ако в един четириъгълник диагоналите се разполовяват от пресечната си точка, то този четириъгълник е успоредник.
Даден е четириъгълник ABCD, чиито диагонали AC и BD се пресичат в точка M. AM е медиана към страната BD в \(\triangle ABD\), а точка C е избрана така, че M да е среда на AC. Тъй като M е среда и на двата диагонала (BD и AC), следва, че ABCD е успоредник.
Диагоналите AC и BD на четириъгълник ABCD се пресичат в точка O. Дадено е, че \(AC = 14\) см, \(BD = 10\) см, \(AO = 7\) см и \(DO = 5\) см. Успоредник ли е ABCD?
Проверяваме дали точка O е среда на диагоналите.
\(AO = 7\) см, \(OC = AC - AO = 14 - 7 = 7\) см. \(\implies AO = OC\).
\(DO = 5\) см, \(BO = BD - DO = 10 - 5 = 5\) см. \(\implies BO = DO\).
Тъй като и двата диагонала се разполовяват от точка O, четириъгълникът е успоредник.
\(AO = 7\) см, \(OC = AC - AO = 14 - 7 = 7\) см. \(\implies AO = OC\).
\(DO = 5\) см, \(BO = BD - DO = 10 - 5 = 5\) см. \(\implies BO = DO\).
Тъй като и двата диагонала се разполовяват от точка O, четириъгълникът е успоредник.
Задачи за упражнение
Лесна: В успоредник ABCD диагоналите се пресичат в точка O. Периметърът на \(\triangle ABO\) е 21 см. Ако \(AC = 14\) см, намерете страната AB.
\(P_{\triangle ABO} = AB + BO + AO\).
Знаем, че O е среда на AC, следователно \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\) см.
От условието имаме: \(21 = AB + BO + 7 \implies AB + BO = 14\) см.
Задачата има грешни/недостатъчни данни, за да се намери еднозначно AB. Ако се приеме, че \(\triangle ABO\) е равнобедрен с бедра AO и BO, то BO = 7 см и AB = 7 см.
Бележка: Ако задачата имаше и периметъра на \(\triangle ADO\), можеше да се намери.
Примерно решение при корекция: Ако се знае, че \(BD = 12\) см. Тогава \(BO = 6\) см.
\(AB = P_{\triangle ABO} - AO - BO = 21 - 7 - 6 = 8\) см.
Знаем, че O е среда на AC, следователно \(AO = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7\) см.
От условието имаме: \(21 = AB + BO + 7 \implies AB + BO = 14\) см.
Задачата има грешни/недостатъчни данни, за да се намери еднозначно AB. Ако се приеме, че \(\triangle ABO\) е равнобедрен с бедра AO и BO, то BO = 7 см и AB = 7 см.
Бележка: Ако задачата имаше и периметъра на \(\triangle ADO\), можеше да се намери.
Примерно решение при корекция: Ако се знае, че \(BD = 12\) см. Тогава \(BO = 6\) см.
\(AB = P_{\triangle ABO} - AO - BO = 21 - 7 - 6 = 8\) см.
Средна: В успоредник ABCD (AB > AD) диагоналите се пресичат в точка O. Периметърът на успоредника е 34 см. Разликата между периметрите на \(\triangle AOB\) и \(\triangle AOD\) е 3 см. Намерете страните на успоредника.
Нека страните са \(a=AB\) и \(b=AD\).
\(P_{ABCD} = 2(a+b) = 34 \implies a+b = 17\).
\(P_{\triangle AOB} = a + AO + BO\).
\(P_{\triangle AOD} = b + AO + DO\).
Тъй като \(BO = DO\), разликата на периметрите е:
\(P_{\triangle AOB} - P_{\triangle AOD} = (a + AO + BO) - (b + AO + DO) = a - b\).
Получаваме системата: \[ \begin{cases} a + b = 17 \\ a - b = 3 \end{cases} \] Събираме двете уравнения: \(2a = 20 \implies a = 10\) см.
Заместваме: \(10 + b = 17 \implies b = 7\) см.
Отговор: Страните са 10 см и 7 см.
\(P_{ABCD} = 2(a+b) = 34 \implies a+b = 17\).
\(P_{\triangle AOB} = a + AO + BO\).
\(P_{\triangle AOD} = b + AO + DO\).
Тъй като \(BO = DO\), разликата на периметрите е:
\(P_{\triangle AOB} - P_{\triangle AOD} = (a + AO + BO) - (b + AO + DO) = a - b\).
Получаваме системата: \[ \begin{cases} a + b = 17 \\ a - b = 3 \end{cases} \] Събираме двете уравнения: \(2a = 20 \implies a = 10\) см.
Заместваме: \(10 + b = 17 \implies b = 7\) см.
Отговор: Страните са 10 см и 7 см.
Трудна: Даден е четириъгълник ABCD, в който \(AB \parallel CD\). Точка M е средата на страната AD, а точка N е средата на страната BC. Отсечката MN пресича диагонала AC в точка P и диагонала BD в точка Q. Докажете, че ако \(MP=QN\), то ABCD е успоредник.
Разглеждаме \(\triangle ADC\). M е среда на AD, а P лежи на MN. Тъй като \(AB \parallel CD\), ABCD е трапец и MN е средна основа. Следователно \(MN \parallel AB \parallel CD\).
В \(\triangle ADC\), MP е успоредна на CD. От теорема на Талес (или свойство на средна отсечка) следва, че P е среда на AC и \(MP = \frac{1}{2}CD\).
Аналогично в \(\triangle BCD\), QN е успоредна на CD. N е среда на BC, следователно Q е среда на BD и \(QN = \frac{1}{2}CD\).
В \(\triangle ABD\), MQ е успоредна на AB, M е среда на AD, следователно Q е среда на BD и \(MQ = \frac{1}{2}AB\).
От условието имаме \(MP = QN\). От доказаното по-горе знаем, че \(MP = \frac{1}{2}CD\) и \(QN\) е част от средната отсечка.
Разглеждайки \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\), по-директен подход:
В \(\triangle ADС\), MP е средна отсечка \(\implies MP = \frac{CD}{2}\).
В \(\triangle BCD\), QN е средна отсечка \(\implies QN = \frac{CD}{2}\).
В \(\triangle ABD\), MQ е средна отсечка \(\implies MQ = \frac{AB}{2}\).
От условието \(MP = QN\) не следва нова информация, тъй като това е вярно за всеки трапец.
Корекция на задачата/решението: Задачата вероятно е формулирана грешно. Нека допуснем, че трябва да се докаже, че \(AB=CD\).
От \(MN = MP+PQ+QN\), \(MN = \frac{AB+CD}{2}\), \(MP = \frac{CD}{2}\), \(QN=\frac{CD}{2}\).
\(\frac{AB+CD}{2} = \frac{CD}{2} + PQ + \frac{CD}{2} \implies \frac{AB-CD}{2} = PQ\).
Ако ABCD е успоредник, \(AB=CD\), тогава \(PQ=0\), т.е. P и Q съвпадат, което е пресечната точка на диагоналите.
Нека приемем, че условието е: Докажете, че ако P и Q съвпадат (PQ=0), то ABCD е успоредник. Ако PQ=0, то \(AB-CD=0 \implies AB=CD\). Тъй като имаме и \(AB \parallel CD\), четириъгълник с двойка равни и успоредни страни е успоредник.
В \(\triangle ADC\), MP е успоредна на CD. От теорема на Талес (или свойство на средна отсечка) следва, че P е среда на AC и \(MP = \frac{1}{2}CD\).
Аналогично в \(\triangle BCD\), QN е успоредна на CD. N е среда на BC, следователно Q е среда на BD и \(QN = \frac{1}{2}CD\).
В \(\triangle ABD\), MQ е успоредна на AB, M е среда на AD, следователно Q е среда на BD и \(MQ = \frac{1}{2}AB\).
От условието имаме \(MP = QN\). От доказаното по-горе знаем, че \(MP = \frac{1}{2}CD\) и \(QN\) е част от средната отсечка.
Разглеждайки \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\), по-директен подход:
В \(\triangle ADС\), MP е средна отсечка \(\implies MP = \frac{CD}{2}\).
В \(\triangle BCD\), QN е средна отсечка \(\implies QN = \frac{CD}{2}\).
В \(\triangle ABD\), MQ е средна отсечка \(\implies MQ = \frac{AB}{2}\).
От условието \(MP = QN\) не следва нова информация, тъй като това е вярно за всеки трапец.
Корекция на задачата/решението: Задачата вероятно е формулирана грешно. Нека допуснем, че трябва да се докаже, че \(AB=CD\).
От \(MN = MP+PQ+QN\), \(MN = \frac{AB+CD}{2}\), \(MP = \frac{CD}{2}\), \(QN=\frac{CD}{2}\).
\(\frac{AB+CD}{2} = \frac{CD}{2} + PQ + \frac{CD}{2} \implies \frac{AB-CD}{2} = PQ\).
Ако ABCD е успоредник, \(AB=CD\), тогава \(PQ=0\), т.е. P и Q съвпадат, което е пресечната точка на диагоналите.
Нека приемем, че условието е: Докажете, че ако P и Q съвпадат (PQ=0), то ABCD е успоредник. Ако PQ=0, то \(AB-CD=0 \implies AB=CD\). Тъй като имаме и \(AB \parallel CD\), четириъгълник с двойка равни и успоредни страни е успоредник.
