Най-важното от урока
Лъч: Част от права с начало, но без край. Два лъча с общо начало и на една права са противоположни.
Ъгъл: Фигура от два лъча (рамене) с общо начало (връх). Измерва се в градуси (\(^\circ\)), минути (\('\)) и секунди (\(''\)).
Сбор и разлика: Вътрешен лъч разделя ъгъла на части. Пример: Ако \(\angle AOB = 50^\circ\) и \(\angle AOC = 20^\circ\), то \(\angle COB = 30^\circ\).
Ъглополовяща: Лъч, който разделя ъгъла на две равни части. Пример: Ъглополовящата на \(\angle AOB = 60^\circ\) го разделя на два ъгъла по \(30^\circ\).
Ъгъл: Фигура от два лъча (рамене) с общо начало (връх). Измерва се в градуси (\(^\circ\)), минути (\('\)) и секунди (\(''\)).
Сбор и разлика: Вътрешен лъч разделя ъгъла на части. Пример: Ако \(\angle AOB = 50^\circ\) и \(\angle AOC = 20^\circ\), то \(\angle COB = 30^\circ\).
Ъглополовяща: Лъч, който разделя ъгъла на две равни части. Пример: Ъглополовящата на \(\angle AOB = 60^\circ\) го разделя на два ъгъла по \(30^\circ\).
Част от права, ограничена от едната си страна с точка (наречена начало на лъча) и безкрайна в другата посока.
Два лъча на една права с общо начало се наричат противоположни лъчи.
На права са разположени точките \(A, O, B\) в този ред. Точка \(O\) е общо начало за противоположните лъчи \(OA^\rightarrow\) и \(OB^\rightarrow\).
На права са дадени точки \(M, N, P\) в този ред. Кои два лъча с начало \(N\) са противоположни?
Отговор: Противоположните лъчи са \(NM^\rightarrow\) и \(NP^\rightarrow\).
Геометрична фигура, образувана от два лъча с общо начало.
- Връх на ъгъла: Общото начало на двата лъча.
- Рамене на ъгъла: Двата лъча.
Ъгъл се означава със знака \(\angle\) и три точки (например \(\angle AOB\), като буквата при върха е винаги по средата) или с гръцка буква (\(\alpha, \beta, \gamma\)).
За ъгъла, образуван от лъчите \(OP^\rightarrow\) и \(OM^\rightarrow\), върхът е точка \(О\), а раменете са \(OP^\rightarrow\) и \(OM^\rightarrow\). Означаваме го като \(\angle POM\) или \(\angle MOP\).
В \(\angle KST\), коя точка е върхът и кои са раменете?
Отговор: Върхът е точка \(S\), а раменете са лъчите \(SK^\rightarrow\) и \(ST^\rightarrow\).
Мярката на ъгъла е положително число, което показва неговата големина. Основната мерна единица е градус (\(^\circ\)).
По-малки мерни единици са минута (\('\)) и секунда (\(''\)).
\[ 1^\circ = 60' \]
\[ 1' = 60'' \]
\[ 1^\circ = 3600'' \]
Два ъгъла са равни, ако мерките им са равни. По-голям е този ъгъл, чиято мярка в градуси е по-голяма.
За да превърнем \(2^\circ 15'\) в минути, пресмятаме: \(2 \cdot 60' + 15' = 120' + 15' = 135'\).
Колко секунди са \(2'\)?
Отговор: \(2 \cdot 60'' = 120''\).
Ако лъч \(OC^\rightarrow\) е вътрешен за \(\angle AOB\), той го разделя на два ъгъла \(\angle AOC\) и \(\angle COB\).
Сбор: \[ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \]
Разлика: \[ \angle AOC = \angle AOB - \angle COB \]
*Тези равенства се отнасят за мерките на ъглите.
Ако \(\angle AOB = 75^\circ\) и вътрешният лъч \(OC^\rightarrow\) образува \(\angle AOC = 30^\circ\), тогава \(\angle COB = 75^\circ - 30^\circ = 45^\circ\).
Лъчът \(PM^\rightarrow\) е вътрешен за \(\angle KPL\). Ако \(\angle KPM = 20^\circ\) и \(\angle MPL = 50^\circ\), колко е \(\angle KPL\)?
Отговор: \(\angle KPL = \angle KPM + \angle MPL = 20^\circ + 50^\circ = 70^\circ\).
Лъч с начало върха на даден ъгъл, който разделя този ъгъл на два равни ъгъла.
Ако \(OC^\rightarrow\) е ъглополовяща на \(\angle AOB\), то:
\[ \angle AOC = \angle COB = \dfrac{1}{2} \angle AOB \]
Ако \(\angle MNP = 80^\circ\) и \(NL^\rightarrow\) е негова ъглополовяща, то \(\angle MNL = \angle LNP = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ\).
Ъглополовящата \(DM ^\rightarrow\) на \(\angle CDE\) образува \(\angle CDM = 35^\circ\). Колко градуса е целият \(\angle CDE\)?
Отговор: \(\angle CDE = 2 \cdot \angle CDM = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е \(\angle ABC = 120^\circ\). Лъчът \(BL^\rightarrow\) е негова ъглополовяща. Намерете мярката на \(\angle ABL\).
Тъй като \(BL^\rightarrow\) е ъглополовяща, тя разделя \(\angle ABC\) на два равни ъгъла.
\(\angle ABL = \dfrac{1}{2} \angle ABC = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ\).
Отговор: \(\angle ABL = 60^\circ\).
\(\angle ABL = \dfrac{1}{2} \angle ABC = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ\).
Отговор: \(\angle ABL = 60^\circ\).
Средна: Лъч \(OC^\rightarrow\) е вътрешен за \(\angle AOB = 90^\circ\). Намерете мерките на \(\angle AOC\) и \(\angle BOC\), ако \(\angle AOC\) е два пъти по-голям от \(\angle BOC\).
Нека \(\angle BOC = x\). Тогава \(\angle AOC = 2x\).
От \(\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB\) следва:
\(2x + x = 90^\circ\)
\(3x = 90^\circ\)
\(x = 30^\circ\)
Отговор: \(\angle BOC = 30^\circ\) и \(\angle AOC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).
От \(\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB\) следва:
\(2x + x = 90^\circ\)
\(3x = 90^\circ\)
\(x = 30^\circ\)
Отговор: \(\angle BOC = 30^\circ\) и \(\angle AOC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).
Трудна: Лъчите \(OB^\rightarrow\) и \(OC^\rightarrow\) са вътрешни за \(\angle AOD = 150^\circ\). Известно е, че \(\angle AOB = 40^\circ\) и \(\angle COD = 55^\circ\), като рамото \(OB\) е между \(OA\) и \(OC\). Намерете \(\angle BOC\).
Целият ъгъл \(\angle AOD\) е сбор от трите ъгъла, на които е разделен:
\(\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD\)
Заместваме с известните стойности:
\(150^\circ = 40^\circ + \angle BOC + 55^\circ\)
\(150^\circ = 95^\circ + \angle BOC\)
\(\angle BOC = 150^\circ - 95^\circ = 55^\circ\)
Отговор: \(\angle BOC = 55^\circ\).
\(\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD\)
Заместваме с известните стойности:
\(150^\circ = 40^\circ + \angle BOC + 55^\circ\)
\(150^\circ = 95^\circ + \angle BOC\)
\(\angle BOC = 150^\circ - 95^\circ = 55^\circ\)
Отговор: \(\angle BOC = 55^\circ\).
