Най-важното от урока
Втори признак за еднаквост : Триъгълниците са еднакви, ако имат съответно равни: страна и двата ъгъла, които са прилежащи към нея.
Практически стъпки: За да докажете, че \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) по II признак, намерете например \( AB=A_1B_1 \), \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \).
Полезни свойства: Често се използват връхни ъгли, кръстни ъгли (при успоредни прави) или обща страна, за да се намерят нужните равни елементи.
Ключово следствие: От \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) следва, че и всички останали съответни елементи са равни (\( AC = A_1C_1, BC = B_1C_1, \angle C = \angle C_1 \)) и лицата им са равни (\( S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1} \)).
Практически стъпки: За да докажете, че \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) по II признак, намерете например \( AB=A_1B_1 \), \( \angle A = \angle A_1 \) и \( \angle B = \angle B_1 \).
Полезни свойства: Често се използват връхни ъгли, кръстни ъгли (при успоредни прави) или обща страна, за да се намерят нужните равни елементи.
Ключово следствие: От \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) следва, че и всички останали съответни елементи са равни (\( AC = A_1C_1, BC = B_1C_1, \angle C = \angle C_1 \)) и лицата им са равни (\( S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1} \)).
Два триъгълника са еднакви, ако страна и двата прилежащи ѝ ъгъла от единия триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи ѝ ъгъла от другия триъгълник.
Ако за \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) е дадено, че:
- \( AB = A_1B_1 \) (страна)
- \( \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \) (прилежащ ъгъл)
- \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \) (прилежащ ъгъл)
Дадени са \( \triangle MNP \) и \( \triangle XYZ \), за които \( MN = XY = 7 \text{ cm} \), \( \angle M = \angle X = 50^\circ \) и \( \angle N = \angle Y = 60^\circ \). Еднакви ли са двата триъгълника?
Отговор: Да, триъгълниците са еднакви по II признак, защото имат съответно равна страна (\(MN = XY\)) и два прилежащи към нея ъгъла (\(\angle M = \angle X\) и \(\angle N = \angle Y\)).
За да докажете еднаквост по II признак, трябва да намерите три двойки съответно равни елементи: една страна и двата ъгъла, прилежащи на нея. Често се налага да използвате свойства на ъгли (връхни, кръстни) или да откриете обща страна.
Задача: Дадени са пресичащи се в точка \(О\) отсечки \(AC\) и \(BD\). Ако \( \angle DAO = \angle BCO \) и \(О\) е среда на \(AC\), докажете, че \( \triangle ADO \cong \triangle CBO \).
Решение: Разглеждаме \( \triangle ADO \) и \( \triangle CBO \):
Решение: Разглеждаме \( \triangle ADO \) и \( \triangle CBO \):
- \( \angle DAO = \angle BCO \) (по условие)
- \( AO = CO \) (защото \(О\) е среда на \(AC\))
- \( \angle AOD = \angle COB \) (като връхни ъгли)
Разглеждаме \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \):
- \( \angle B = \angle D \) (по условие)
- \( OB = OD \) (по условие)
- \( \angle AOB = \angle COD \) (като връхни ъгли)
Ако два триъгълника са еднакви, то техните лица са равни.
Ако сме доказали, че \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \) и знаем, че лицето \( S_{ABC} = 25 \text{ cm}^2 \), то можем веднага да заключим, че \( S_{A_1B_1C_1} = 25 \text{ cm}^2 \).
Дадено е, че \( \triangle MNP \cong \triangle QRS \). Височината към страната MN е 5 cm, а дължината на MN е 8 cm. Намерете лицето на \( \triangle QRS \).
Първо намираме лицето на \( \triangle MNP \):
\[ S_{MNP} = \frac{MN \cdot h_{MN}}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \text{ cm}^2 \]
Тъй като триъгълниците са еднакви, лицата им са равни.
Отговор: \( S_{QRS} = 20 \text{ cm}^2 \).
Отговор: \( S_{QRS} = 20 \text{ cm}^2 \).
Задачи за упражнение
Лесна: В \( \triangle ABC \) страната \( AB = 10 \text{ cm} \), \( \angle CAB = 40^\circ \) и \( \angle CBA = 60^\circ \). В \( \triangle PQR \) страната \( PQ = 10 \text{ cm} \), \( \angle RPQ = 40^\circ \) и \( \angle RQP = 60^\circ \). Еднакви ли са триъгълниците? На кой признак се основава отговорът ви?
Да, триъгълниците са еднакви. Имаме \( AB=PQ \), \( \angle CAB = \angle RPQ \) и \( \angle CBA = \angle RQP \). Налице са условията на II признак за еднаквост на триъгълници.
Средна: На чертежа \(AD \perp AB\) и \(BC \perp AB\). Ако точка M е среда на отсечката AB и \( \angle AMD = \angle BMC \), докажете, че \( \triangle ADM \cong \triangle BCM \).
Разглеждаме \( \triangle ADM \) и \( \triangle BCM \):
Имаме страна (\(AM = BM\)) и един прилежащ ъгъл (\(\angle DAM = \angle CBM\)). Трябва ни вторият прилежащ ъгъл, т.е. \(\angle AMD\) и \(\angle BMC\). Те са равни по условие.
Следователно, \( \triangle ADM \cong \triangle BCM \) по II признак (страна и два прилежащи ъгъла).
Трудна: В успоредника \(ABCD\), диагоналът \(AC\) е ъглополовяща на \( \angle DAB \). Докажете, че \(AC\) е ъглополовяща и на \( \angle DCB \).
Разглеждаме \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).
1. Обща страна: Страната \( AC \) е обща за двата триъгълника.
2. Равни ъгли (по условие): Тъй като \(AC\) е ъглополовяща на \( \angle DAB \), то \( \angle BAC = \angle DAC \)
3. Равни ъгли (кръстни ъгли): \(ABCD\) е успоредник. Следователно: \( \angle BAC = \angle DCA \) (като кръстни ъгли при \( AB \parallel DC \)) и \( \angle BCA = \angle DAC \) (като кръстни ъгли при \( BC \parallel AD \))
4. Еднаквост по II признак: Сега разполагаме с три двойки равни елементи за \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \): \( AC = AC \) (обща страна)
\( \angle DAC = \angle BCA \)
\( \angle DCA = \angle BAC \) (
Следователно, \( \triangle ADC \equiv \triangle CBA \) по II признак (страна и два прилежащи ъгъла).
5. Извод: От еднаквостта на триъгълниците \( \triangle ADC \) и \( \triangle CBA \) следва, че съответните им ъгли са равни. По-конкретно, ъглите при върха C са равни: \( \angle DCA = \angle BCA \)
1. Обща страна: Страната \( AC \) е обща за двата триъгълника.
2. Равни ъгли (по условие): Тъй като \(AC\) е ъглополовяща на \( \angle DAB \), то \( \angle BAC = \angle DAC \)
3. Равни ъгли (кръстни ъгли): \(ABCD\) е успоредник. Следователно: \( \angle BAC = \angle DCA \) (като кръстни ъгли при \( AB \parallel DC \)) и \( \angle BCA = \angle DAC \) (като кръстни ъгли при \( BC \parallel AD \))
4. Еднаквост по II признак: Сега разполагаме с три двойки равни елементи за \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \):
5. Извод: От еднаквостта на триъгълниците \( \triangle ADC \) и \( \triangle CBA \) следва, че съответните им ъгли са равни. По-конкретно, ъглите при върха C са равни: \( \angle DCA = \angle BCA \)
