Най-важното от урока
Най-важното, което трябва да запомниш:
- Съседни ъгли: \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Противоположни ъгли: \(\alpha = \beta\).
- Успоредни прави ( \(a \parallel b\) ): кръстните и съответните ъгли са равни, а прилежащите се допълват до \(180^\circ\). Обратното също е вярно - ако някое от тези условия е изпълнено, правите са успоредни.
- Сбор на ъгли в \(\triangle\): \(\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ\). В правоъгълен \(\triangle\), острите ъгли имат сбор \(90^\circ\).
- Външен ъгъл на \(\triangle\): \(\gamma' = \alpha + \beta\). Той е по-голям от всеки несъседен вътрешен ъгъл.
Точка, права и равнина са основни понятия, които не се дефинират.
Лъч е част от права, ограничена от една страна.
Ъгъл е фигура, образувана от два лъча с общо начало.
Мярката на ъглите се измерва в градуси (°), минути (') и секунди (''). \(1^\circ = 60'\), \(1' = 60''\).
Колко минути има в \(2.5^\circ\)?
Тъй като \(1^\circ = 60'\), то \(2.5^\circ = 2.5 \cdot 60' = 150'\).
Остър ъгъл: по-малък от \(90^\circ\).
Прав ъгъл: равен на \(90^\circ\).
Тъп ъгъл: по-голям от \(90^\circ\) и по-малък от \(180^\circ\).
Изправен ъгъл: равен на \(180^\circ\).
Ъгъл \(\alpha = 120^\circ\). Какъв е видът на ъгъл \(\beta = \frac{\alpha}{2}\)?
\(\beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\). Тъй като \(60^\circ < 90^\circ\), ъгълът е остър.
Съседни ъгли: имат общо рамо, а другите им две са противоположни лъчи. Сборът им винаги е \(180^\circ\).
Противоположни (връхни) ъгли: раменете на единия са противоположни лъчи на раменете на другия. Те винаги са равни.
Ако \(\alpha\) и \(\gamma\) са противоположни \(\Rightarrow \alpha = \gamma\).
Ако \(\alpha = 40^\circ\), то съседният му ъгъл \(\beta = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ\), а противоположният му ъгъл \(\gamma = 40^\circ\).
Намерете ъгъл, който е 4 пъти по-малък от съседния си.
Нека ъгълът е \(\alpha\), а съседният му е \(\beta\). Имаме \(\beta = 4\alpha\).
От \(\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow \alpha + 4\alpha = 180^\circ \Rightarrow 5\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 36^\circ\).
Перпендикулярни прави: две прави, които при пресичането си образуват прав ъгъл (\(90^\circ\)). Означение: \(a \perp b\).
Ъглополовяща: лъч с начало върха на ъгъла, който го разделя на два равни ъгъла.
Ъглополовящите на два съседни ъгъла са взаимно перпендикулярни.
Две прави се пресичат. Единият от ъглите е \(90^\circ\). Какви са останалите три ъгъла?
Тъй като единият ъгъл е \(90^\circ\), противоположният му също е \(90^\circ\). Двата съседни ъгъла са \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Всички ъгли са прави, а правите са перпендикулярни.
Успоредни прави: две прави в една равнина, които нямат обща точка. Означение: \(a \parallel b\).
При пресичане на две прави с трета (секуща) се образуват кръстни, съответни и прилежащи ъгли.
- Ако двойка кръстни ъгли са равни \(\Rightarrow\) правите са успоредни.
- Ако двойка съответни ъгли са равни \(\Rightarrow\) правите са успоредни.
- Ако сборът на двойка прилежащи ъгли е \(180^\circ\) \(\Rightarrow\) правите са успоредни.
- Всяка двойка кръстни ъгли са равни.
- Всяка двойка съответни ъгли са равни.
- Сборът на всяка двойка прилежащи ъгли е \(180^\circ\).
Две успоредни прави са пресечени с трета. Един от острите ъгли е \(50^\circ\). На колко е равен съответният му тъп прилежащ ъгъл?
Тъпият ъгъл, съседен на дадения, е \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\). Тъй като прилежащите ъгли се допълват до \(180^\circ\), търсеният ъгъл е \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
Триъгълник е фигура от три точки, нележащи на една права, и съединяващите ги отсечки (страни).
Височина (\(h\)) е перпендикуляр от връх към срещулежащата страна.
Медиана (\(m\)) е отсечка, свързваща връх със средата на срещулежащата страна.
Ъглополовяща (\(l\)) е отсечка от ъглополовящата на ъгъл до пресичането ѝ със срещулежащата страна.
Вярно ли е, че в правоъгълен триъгълник два от катетите са и височини?
Да, вярно е. Всеки катет е перпендикулярен на другия, следователно е височина към него.
Сборът от вътрешните ъгли на всеки триъгълник е \(180^\circ\).
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
В правоъгълен триъгълник сборът на двата остри ъгъла е \(90^\circ\).
Ако в \(\triangle ABC\) имаме \(\angle A = 50^\circ\) и \(\angle B = 70^\circ\), то \(\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Ъглите на триъгълник се отнасят както \(1:2:3\). Намерете ъглите.
Нека ъглите са \(x, 2x, 3x\).
\(x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ\).
Ъглите са \(30^\circ, 60^\circ\) и \(90^\circ\). Триъгълникът е правоъгълен.
\(x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ\).
Ъглите са \(30^\circ, 60^\circ\) и \(90^\circ\). Триъгълникът е правоъгълен.
Външен ъгъл на триъгълник е съседният на кой да е вътрешен ъгъл.
Всеки външен ъгъл е равен на сбора на двата вътрешни, несъседни нему, ъгъла.
\[ \gamma' = \alpha + \beta \]
Всеки външен ъгъл е по-голям от всеки несъседен на него вътрешен ъгъл (\(\gamma' > \alpha\), \(\gamma' > \beta\)).
Ако вътрешните ъгли \(\alpha=50^\circ\) и \(\beta=70^\circ\), то външният ъгъл \(\gamma' = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ\).
Външен ъгъл при върха C на \(\triangle ABC\) е \(110^\circ\). Вътрешният ъгъл при върха A е \(40^\circ\). Намерете вътрешния ъгъл при върха B.
Нека \(\gamma' = 110^\circ\), \(\alpha = 40^\circ\).
От \(\gamma' = \alpha + \beta\) следва \(110^\circ = 40^\circ + \beta\).
\(\beta = 110^\circ - 40^\circ = 70^\circ\).
От \(\gamma' = \alpha + \beta\) следва \(110^\circ = 40^\circ + \beta\).
\(\beta = 110^\circ - 40^\circ = 70^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Две прави се пресичат и единият от получените ъгли е \(45^\circ\). Намерете мерките на останалите три ъгъла.
Противоположният ъгъл също е \(45^\circ\).
Двата съседни ъгъла са равни на \(180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
Отговор: \(45^\circ, 135^\circ, 135^\circ\).
Отговор: \(45^\circ, 135^\circ, 135^\circ\).
Средна: В \(\triangle ABC\), \(\angle A = 50^\circ\). Ъглополовящата на \(\angle B\) и ъглополовящата на \(\angle C\) се пресичат в точка O. Намерете големината на \(\angle BOC\).
Нека \(\angle B = \beta\) и \(\angle C = \gamma\). В \(\triangle BOC\) имаме \(\angle BOC + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = 180^\circ\).
Следователно \(\angle BOC = 180^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}\).
В \(\triangle ABC\) имаме \(\beta + \gamma = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
Заместваме: \(\angle BOC = 180^\circ - \frac{130^\circ}{2} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\).
Отговор: \(115^\circ\).
Отговор: \(115^\circ\).
Трудна: В остроъгълен \(\triangle ABC\), височините \(AD\) и \(BQ\) се пресичат в точка H. Ако \(\angle ACB = 70^\circ\), намерете \(\angle AHB\).
Разглеждаме четириъгълника \(QDCH\). Сборът на ъглите в него е \(360^\circ\).
\(\angle HQC = 90^\circ\) (защото BQ е височина).
\(\angle HDC = 90^\circ\) (защото AD е височина).
\(\angle QDC = 70^\circ\) (по условие).
Тогава \(\angle QHD + \angle HQC + \angle QDC + \angle HDC = 360^\circ\).
\(\angle QHD + 90^\circ + 70^\circ + 90^\circ = 360^\circ\).
\(\angle QHD + 250^\circ = 360^\circ \Rightarrow \angle QHD = 110^\circ\).
Ъглите \(\angle AHB\) и \(\angle QHD\) са противоположни (връхни), следователно са равни.
\(\angle AHB = 110^\circ\).
Отговор: \(110^\circ\).
Отговор: \(110^\circ\).
