Най-важното от урока
Еквивалентни уравнения: Имат едни и същи решения (или и двете нямат решение).
Решаване на уравнение: Процес на преобразуване в по-прости еквивалентни уравнения чрез три основни правила:
1. Прехвърляне: \( 5x - 1 = 4 \iff 5x = 4 + 1 \)
2. Умножение/Деление: \( 5x = 5 \iff x = 1 \)
3. Опростяване: \( 2(x+3) = 8 \iff 2x + 6 = 8 \)
Решаване на уравнение: Процес на преобразуване в по-прости еквивалентни уравнения чрез три основни правила:
1. Прехвърляне: \( 5x - 1 = 4 \iff 5x = 4 + 1 \)
2. Умножение/Деление: \( 5x = 5 \iff x = 1 \)
3. Опростяване: \( 2(x+3) = 8 \iff 2x + 6 = 8 \)
Две уравнения се наричат еквивалентни, ако имат едни и същи корени (решения) или ако и двете нямат корени.
Знакът за еквивалентност е \( \iff \).
Уравненията \( 2x = 10 \) и \( x + 1 = 6 \) са еквивалентни, защото и двете имат единствен корен \( x = 5 \). Записваме: \( 2x = 10 \iff x + 1 = 6 \).
Еквивалентни ли са уравненията \( x - 3 = 0 \) и \( 5x = 15 \)?
Да. Коренът на първото уравнение е \( x = 3 \). Коренът на второто уравнение също е \( x = 3 \) (\(15 : 5 = 3\)). Тъй като имат еднакви корени, те са еквивалентни.
Всеки член на уравнението може да се прехвърли от едната страна в другата, като знакът му се смени с противоположния.
В уравнението \( 7x - 2 = x - 5 \), можем да прехвърлим \( x \) вляво и \( -2 \) вдясно:
\[ 7x - x = -5 + 2 \]
Приложете правилото за прехвърляне към уравнението \( 10x + 8 = 3x - 13 \), като съберете членовете с \(x\) отляво, а свободните членове отдясно.
\( 10x - 3x = -13 - 8 \)
Двете страни на уравнението могат да се умножат или разделят с едно и също число, което е различно от нула.
Ако имаме \( 6x = -3 \), можем да разделим двете страни на 6:
\[ \frac{6x}{6} = \frac{-3}{6} \implies x = -\frac{1}{2} \]
Решете уравнението \( -5x = -35 \) като използвате това правило.
Разделяме двете страни на -5:
\[ \frac{-5x}{-5} = \frac{-35}{-5} \implies x = 7 \]
В едно уравнение всеки израз може да се замени с тъждествено равен на него израз. Това включва разкриване на скоби и опростяване.
Уравнението \( 5 - 2(x - 3) = 3x \) може да се преобразува чрез разкриване на скобите:
\[ 5 - 2x + 6 = 3x \]
След това можем да опростим лявата страна:
\[ 11 - 2x = 3x \]
Опростете лявата страна на уравнението \( 5x - (3x + 1) = 9 \).
Разкриваме скобите (знакът минус обръща знаците вътре):
\[ 5x - 3x - 1 = 9 \]
Опростяваме:
\[ 2x - 1 = 9 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \( 7x - 5 = -21 \) и направете проверка.
\[ 7x - 5 = -21 \]
\[ 7x = -21 + 5 \]
\[ 7x = -16 \]
\[ x = -\frac{16}{7} \]
Проверка: \( 7 \left(-\frac{16}{7}\right) - 5 = -16 - 5 = -21 \). Вярно е.
Средна: Решете уравнението \( 5 - 2(x - 3) = 3(x - 8) \).
\[ 5 - 2x + 6 = 3x - 24 \]
\[ 11 - 2x = 3x - 24 \]
\[ 11 + 24 = 3x + 2x \]
\[ 35 = 5x \]
\[ x = 7 \]
Трудна: Докажете, че уравненията \( \frac{x}{2} + 1 = 5 \) и \( 3(x+1) = 2x+11 \) са еквивалентни.
За да докажем, че са еквивалентни, трябва да покажем, че имат един и същ корен.
Решаваме първото уравнение: \[ \frac{x}{2} + 1 = 5 \] \[ \frac{x}{2} = 5 - 1 \] \[ \frac{x}{2} = 4 \] \[ x = 4 \cdot 2 \implies x = 8 \]
Решаваме второто уравнение: \[ 3(x+1) = 2x+11 \] \[ 3x + 3 = 2x + 11 \] \[ 3x - 2x = 11 - 3 \] \[ x = 8 \] Тъй като и двете уравнения имат корен \( x = 8 \), те са еквивалентни.
Решаваме първото уравнение: \[ \frac{x}{2} + 1 = 5 \] \[ \frac{x}{2} = 5 - 1 \] \[ \frac{x}{2} = 4 \] \[ x = 4 \cdot 2 \implies x = 8 \]
Решаваме второто уравнение: \[ 3(x+1) = 2x+11 \] \[ 3x + 3 = 2x + 11 \] \[ 3x - 2x = 11 - 3 \] \[ x = 8 \] Тъй като и двете уравнения имат корен \( x = 8 \), те са еквивалентни.
