Перпендикуляр От Точка Към Права

90. Перпендикуляр От Точка Към Права

Най-важното от урока

Уникалност на перпендикуляра: През всяка точка (на правата или извън нея) минава точно една права, перпендикулярна на дадената.
Разстояние от точка до права: Това е дължината на перпендикуляра, спуснат от точката към правата. Пример: Ако перпендикулярът е 3 см, разстоянието е 3 см.
Разстояние между успоредни прави: То е винаги едно и също число. Измерва се с дължината на който и да е перпендикулярен сегмент между двете прави.

През всяка точка (независимо дали лежи на дадена права или е извън нея) може да се построи само една права, която е перпендикулярна на дадената.

{Илюстрация на хоризонтална права p и точка M върху нея. През M минава вертикална права q, която е перпендикулярна на p.}

{Илюстрация на хоризонтална права p и точка M извън нея. От M е спуснат перпендикуляр (права q) към p.}

На чертежите е показано, че независимо от позицията на точка $M$, през нея минава точно една права $q$, перпендикулярна на $p$.

Дадена е права $a$ и точка $B$, която не лежи на $a$. Колко прави, перпендикулярни на $a$, можем да построим през точка $B$?

Отговор: Само една.

Разстоянието от точка до права се нарича дължината на отсечката, която свързва точката с нейната проекция върху правата (петата на перпендикуляра). Това е най-късото възможно разстояние от точката до коя да е точка от правата.

${Илюстрация на точка M и права p. Отсечката MM_1 е перпендикулярна на p, като M_1 лежи на p. Показана е и друга, по-дълга отсечка MM', свързваща M с друга точка M' на правата p.}$ Ако от точка $M$ спуснем перпендикуляр към правата $p$ и петата му е точка $M_1$, то дължината на отсечката $MM_1$ е разстоянието от $M$ до $p$. Ако $MM_1 = 5$ см, казваме, че разстоянието от точка $M$ до правата $p$ е 5 см.

Перпендикулярът, спуснат от точка $C$ към права $m$, има дължина 12 см. Какво е разстоянието от точка $C$ до права $m$?

Отговор: Разстоянието е равно на дължината на перпендикуляра, т.е. 12 см.

Ако две прави са успоредни, разстоянието от всяка точка на едната права до другата права е едно и също. Тази постоянна дължина се нарича разстояние между успоредните прави.

${Илюстрация на две успоредни прави a и b. Показани са три перпендикулярни отсечки AA_1, BB_1 и CC_1 между тях, които са равни по дължина (h).}$ Ако $a \parallel b$ и разстоянието от точка $A \in a$ до правата $b$ е $h$, то разстоянието от всяка друга точка $B \in a$ до правата $b$ също ще бъде $h$.

Дадено е, че $m \parallel n$ и разстоянието между тях е 8 см. Точка $X$ лежи на правата $m$. На какво разстояние се намира точка $X$ от правата $n$?

Отговор: Разстоянието е 8 см, тъй като то е еднакво за всички точки от правата $m$.

Задачи за упражнение

Лесна: Дадени са две успоредни прави $p$ и $q$. Разстоянието от точка $A$, лежаща на $p$, до правата $q$ е 15 см. Какво е разстоянието между правите $p$ и $q$?

Отговор: 15 см. Разстоянието между успоредни прави е константно.

Средна: Точките $A$ и $B$ са от една и съща страна на права $m$ и са на равни разстояния от нея. Докажете, че правата $AB$ е успоредна на $m$.

${Илюстрация на права m и две точки A и B извън нея, от които са спуснати равни перпендикуляри AA_1 и BB_1 към m.}$ Нека $AA_1 \perp m$ и $BB_1 \perp m$. По условие $AA_1 = BB_1$.
От $AA_1 \perp m$ и $BB_1 \perp m$ следва, че $AA_1 \parallel BB_1$. Тогава четириъгълникът $ABB_1A_1$ е успоредник (защото има двойка успоредни и равни срещуположни страни $(AA_1 \text{ и } BB_1)$).
Следователно $AB \parallel A_1B_1$. Тъй като $A_1B_1$ лежи на правата $m$, то $AB \parallel m$.

Трудна: В $\triangle ABC$ точка $M$ е средата на страната $AB$. Докажете, че разстоянието от връх $A$ до правата $CM$ е равно на разстоянието от връх $B$ до същата права.

${Чертеж на триъгълник ABC. M е среда на AB. Правата p минава през C и M. Спуснати са перпендикуляри AA_1 и BB_1 от A и B към правата p.}$ Нека $p$ е правата през $C$ и $M$. Спускаме перпендикуляри $AA_1 \perp p$ и $BB_1 \perp p$, където $A_1, B_1 \in p$. Трябва да докажем, че $AA_1 = BB_1$.
Разглеждаме $\triangle AA_1M$ и $\triangle BB_1M$:

$\angle A_1MA = \angle B_1MB$ (връхни ъгли)
$\angle AA_1M = \angle BB_1M = 90^\circ$ (по построение)

Ако знаем два ъгъла в един триъгълник, автоматично знаем и третия. В правоъгълен триъгълник сумата на острите ъгли е $90^\circ$. Следователно: $\angle MAA_1 = 90^\circ - \angle A_1MA$ и $\angle MB_1B = 90^\circ - \angle B_1MB$
Понеже $\angle A_1MA = \angle B_1MB$, то и $\angle MAA_1 = \angle MB_1B$
Сега имаме:

$AM = BM$ (страна)
$\angle A_1MA = \angle B_1MB$ (прилежащ ъгъл)
$\angle MAA_1 = \angle MB_1B$ (прилежащ ъгъл)

От (1), (2) и (3) следва, че $\triangle AA_1M \cong \triangle BB_1M$ по втори признак .
От еднаквостта на триъгълниците следва, че съответните им страни са равни, т.е. $AA_1 = BB_1$.

90. Перпендикуляр От Точка Към Права

Избери решение на задача:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: