22. Упражнение

а) \( x(x-2)(x+3) \)

Ще умножим първо \( x \) с \( (x-2) \) и след това ще умножим резултата с \( (x+3) \):

Стъпка 1: Умножение на \( x \) с \( (x-2) \)

\[ x(x-2) = x \cdot x + x \cdot (-2) \] \[ = x^2 -2x \]

Стъпка 2: Умножение на \( (x^2 - 2x) \) с \( (x+3) \).

Всеки член от първия израз ще умножим с всеки член от втория израз: \[ (x^2 -2x)(x+3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3 - 2x \cdot x - 2x \cdot 3 \]

Стъпка 3: Извършване на умножението

\[ x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3 - 2x \cdot x - 2x \cdot 3 = x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x \]

Стъпка 4: Привеждане в нормален вид

\[ x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x = x^3 + x^2 - 6x \]

Отговор: \( x^3 + x^2 - 6x \)

---

б) \( (x+1)(2-x)(3-2 x) \)

Ще приложим същия подход като в а):

Стъпка 1: Умножение на първите два многочлена

\[ (x + 1)(2 - x) = x(2 - x) + 1(2 - x) = 2x - x^2 + 2 - x \]

Стъпка 2: Привеждане в нормален вид

\[ 2x - x^2 + 2 - x = -x^2 + x + 2 \]

Стъпка 3: Умножение на получения многочлен с третия многочлен

\[ (-x^2 + x + 2)(3 - 2x) = -x^2(3-2x) + x(3-2x) + 2(3-2x) \] \[ = -3x^2 + 2x^3 + 3x - 2x^2 + 6 - 4x \]

Стъпка 4: Привеждане в нормален вид

\[ -3x^2 + 2x^3 + 3x - 2x^2 + 6 - 4x = 2x^3 -5x^2 - x + 6 \]

Отговор: \( 2x^3 -5x^2 - x + 6 \)

---

в) \( (x+2 y)(2 x-y)(x+y) \)

Стъпка 1: Умножение на първите два многочлена

\[ (x+2y)(2x -y) = x(2x-y) + 2y(2x-y) = 2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 \]

Стъпка 2: Привеждане в нормален вид

\[ 2x^2 - xy + 4xy - 2y^2 = 2x^2 + 3xy - 2y^2 \]

Стъпка 3: Умножение на получения многочлен с третия многочлен

\[ (2x^2 + 3xy - 2y^2)(x+y) = 2x^2(x+y) + 3xy(x+y) - 2y^2(x+y) \] \[ = 2x^3 + 2x^2y + 3x^2y + 3xy^2 - 2xy^2 - 2y^3 \]

Стъпка 4: Привеждане в нормален вид

\[ 2x^3 + 2x^2y + 3x^2y + 3xy^2 - 2xy^2 - 2y^3 = 2x^3 + 5x^2y + xy^2 - 2y^3 \]

Отговор: \( 2x^3 + 5x^2y + xy^2 - 2y^3 \)

---

г) \( (x-y)^{2} \)

Стъпка 1: Представяме като произведение на два еднакви многочлена

\[ (x-y)^2 = (x - y)(x - y) \]

Стъпка 2: Умножаваме двата многочлена

\[ (x-y)(x-y) = x(x - y) - y(x - y) = x^2 - xy - xy + y^2 \]

Стъпка 3: Привеждане в нормален вид

\[ x^2 - xy - xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]

Отговор: \( x^2 - 2xy + y^2 \)

---

д) \( (y-1)^{3} \)

Стъпка 1: Представяме като произведение на три еднакви многочлена

\[ (y-1)^3 = (y-1)(y-1)(y-1) \]

Стъпка 2: Умножение на първите два многочлена

\[ (y-1)(y-1) = y(y - 1) -1(y-1) = y^2 - y - y + 1 \]

Стъпка 3: Привеждане в нормален вид

\[ y^2 - y - y + 1 = y^2 - 2y + 1 \]

Стъпка 4: Умножение на получения многочлен с третия многочлен

\[ (y^2 - 2y + 1)(y-1) = y^2(y-1) -2y(y-1) + 1(y-1) \] \[ = y^3 - y^2 -2y^2 + 2y + y - 1 \]

Стъпка 5: Привеждане в нормален вид

\[ y^3 - y^2 -2y^2 + 2y + y - 1 = y^3 -3y^2 + 3y -1 \]

Отговор: \( y^3 -3y^2 + 3y -1 \)

е) \( (x+y)^{3} \)

За да представим \( (x+y)^3 \) като многочлен в нормален вид, ще използваме формулата за трета степен на двучлен: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \). В нашия случай, \( a = x \) и \( b = y \).

Стъпка 1: Заместваме във формулата

\[ (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \]

Отговор: \( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)

---

ж) \( \left(x^{2}-x+2\right)^{2} \)

Тук ще използваме свойството за повдигане на квадрат на многочлен: \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \). В нашия случай, \( a = x^2 \), \( b = -x \) и \( c = 2 \).

Стъпка 1: Заместваме във формулата

\[ (x^2 - x + 2)^2 = (x^2)^2 + (-x)^2 + 2^2 + 2(x^2)(-x) + 2(x^2)(2) + 2(-x)(2) \]

Стъпка 2: Извършваме повдигането на степен и умножението

\[ (x^2)^2 + (-x)^2 + 2^2 + 2(x^2)(-x) + 2(x^2)(2) + 2(-x)(2) = x^4 + x^2 + 4 - 2x^3 + 4x^2 - 4x \]

Стъпка 3: Привеждане в нормален вид

Събираме едночлените с еднакви степени: \( x^4 - 2x^3 + (1+4)x^2 - 4x + 4 \)

Отговор: \( x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 4 \)