Най-важното от урока
Ключови изводи:
Разлагане: Представяне на сбор/разлика като произведение. Това е обратното на разкриване на скоби.
Общ множител: Намираме най-големия общ делител на числата и най-ниската степен на общите променливи.
Разлагане: Представяне на сбор/разлика като произведение. Това е обратното на разкриване на скоби.
Общ множител: Намираме най-големия общ делител на числата и най-ниската степен на общите променливи.
- Пример: \(8x^3 - 12x^2 = 4x^2(2x-3)\)
- Пример: \(y(a+1) - 2(a+1) = (a+1)(y-2)\)
- Пример: \(x(y-5) + 3(5-y) = x(y-5) - 3(y-5) = (y-5)(x-3)\)
Да разложим многочлен на множители означава да го представим като произведение на многочлени, които не могат да бъдат разложени повече (прости множители).
\(2(a+b)\)
Тук \(2\) и \((a+b)\) са простите множители.
Тук \(2\) и \((a+b)\) са простите множители.
Представен ли е многочленът \(2x+6\) като произведение на множители в израза \(2(x+3)\)?
Отговор: Да, защото \(2(x+3)\) е произведение на множителите \(2\) и \(x+3\).
Това е основен метод за разлагане, при който използваме дистрибутивното свойство в обратен ред: \(ab+ac = a(b+c)\). Намираме общия множител за всички членове на многочлена и го изнасяме пред скоби.
Намерете най-големия общ делител (НОД) на коефициентите.
Разгледайте всяка променлива, която се среща във всеки един член на многочлена. От степените, с които тя участва, изберете най-малката.
Изнасяме получения общ множител пред скоби. В скобите остава резултатът от делението на всеки член на многочлена с общия множител.
Когато един член на многочлена е равен на общия множител, при изнасянето му на негово място остава 1. Пример: \(ax + a = a \cdot x + a \cdot 1 = a(x+1)\).
Да разложим \(15u^3v^2 - 20u^2v^3\).
- НОД\((15, 20) = 5\).
- Най-ниска степен за \(u\) е \(u^2\). Най-ниска степен за \(v\) е \(v^2\).
- Общият множител е \(5u^2v^2\).
Разложете на множители \(8a^2b + 12ab^2\).
НО\((8, 12) = 4\). Общи променливи са \(a\) и \(b\). Най-ниската степен на \(a\) е \(a^1\), а на \(b\) е \(b^1\).
Общият множител е \(4ab\). \[ 8a^2b + 12ab^2 = 4ab(2a + 3b) \]
Общият множител е \(4ab\). \[ 8a^2b + 12ab^2 = 4ab(2a + 3b) \]
Понякога общият множител може да бъде цял израз в скоби. За да го открием, може да се наложи да променим знака на някой от изразите.
Правило за смяна на знака: \( (b-a) = -(a-b) \).
Забележка: \( (b-a)^2 = (a-b)^2 \), тъй като минусът изчезва при повдигане на квадрат.
Забележка: \( (b-a)^2 = (a-b)^2 \), тъй като минусът изчезва при повдигане на квадрат.
Разложете \(5a(a-b) + b(b-a)\).
Използваме правилото \( (b-a) = -(a-b) \): \[ 5a(a-b) + b(-(a-b)) = 5a(a-b) - b(a-b) \] Сега общият множител е \((a-b)\): \[ (a-b)(5a-b) \]
Използваме правилото \( (b-a) = -(a-b) \): \[ 5a(a-b) + b(-(a-b)) = 5a(a-b) - b(a-b) \] Сега общият множител е \((a-b)\): \[ (a-b)(5a-b) \]
Разложете на множители \(a(x-y) + 2(y-x)\).
Преобразуваме \( (y-x) \) в \( -(x-y) \).
\[ a(x-y) + 2(-(x-y)) = a(x-y) - 2(x-y) = (x-y)(a-2) \]
Задачи за упражнение
Лесна: Разложете \(4m - 8y + 10z\).
Решение: НОД\((4, 8, 10) = 2\). Няма обща променлива. \[ 4x - 8y + 10z = 2(2x - 4y + 5z) \]
Решение: НОД\((4, 8, 10) = 2\). Няма обща променлива. \[ 4x - 8y + 10z = 2(2x - 4y + 5z) \]
Средна: Разложете на множители \(15a^2x^3 - 10ax^4 + 20a^3x^2\).
НОД(15, 10, 20) = 5.
Най-ниска степен на \(a\) е \(a^1\).
Най-ниска степен на \(x\) е \(x^2\).
Общият множител е \(5ax^2\). \[ 15a^2x^3 - 10ax^4 + 20a^3x^2 = 5ax^2(3ax - 2x^2 + 4a^2) \]
Най-ниска степен на \(a\) е \(a^1\).
Най-ниска степен на \(x\) е \(x^2\).
Общият множител е \(5ax^2\). \[ 15a^2x^3 - 10ax^4 + 20a^3x^2 = 5ax^2(3ax - 2x^2 + 4a^2) \]
Трудна: Разложете на множители \(a^2(x-1) - 3(1-x)\).
Забелязваме, че \( (1-x) = -(x-1) \).
\[ a^2(x-1) - 3(-(x-1)) = a^2(x-1) + 3(x-1) \]
Изнасяме общия множител \((x-1)\):
\[ (x-1)(a^2+3) \]
