Най-важното от урока
Основна идея: Групираме членовете на многочлена \((ax+ay) + (bx+by)\), изнасяме общ множител от всяка група \(a(x+y) + b(x+y)\) и накрая изнасяме общия двучлен \((x+y)(a+b)\).
Ключов трик: Ако множителите са "огледални" (напр. \(a-b\) и \(b-a\)), изнесете \(-1\) пред скоби, за да ги уеднаквите: \(p(a-b) - q(b-a) = p(a-b) + q(a-b)\).
Приложение: Методът работи за многочлени с 4 члена и може да се пригоди за квадратни тричлени, като средният им член се "разцепи" на два. Пример: \(x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6\).
Ключов трик: Ако множителите са "огледални" (напр. \(a-b\) и \(b-a\)), изнесете \(-1\) пред скоби, за да ги уеднаквите: \(p(a-b) - q(b-a) = p(a-b) + q(a-b)\).
Приложение: Методът работи за многочлени с 4 члена и може да се пригоди за квадратни тричлени, като средният им член се "разцепи" на два. Пример: \(x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6\).
Това е метод за разлагане на многочлен, при който членовете му се групират по подходящ начин (обикновено по двойки), така че във всяка група да може да се изнесе общ множител. След това се появява нов, общ за целия израз множител (обикновено двучлен), който се изнася пред скоби.
Групирайте членовете на многочлена на двойки.
От всяка група изнесете общ множител.
Ако в скобите се е получил еднакъв многочлен, изнесете го като общ множител.
Да разложим \(ax + ay + bx + by\):
Групираме: \((ax + ay) + (bx + by)\)
Изнасяме от всяка група: \(a(x+y) + b(x+y)\)
Изнасяме общия множител \((x+y)\): \((x+y)(a+b)\)
Групираме: \((ax + ay) + (bx + by)\)
Изнасяме от всяка група: \(a(x+y) + b(x+y)\)
Изнасяме общия множител \((x+y)\): \((x+y)(a+b)\)
Разложете чрез групиране \(3m + 3n + am + an\).
\( (3m + 3n) + (am + an) = 3(m+n) + a(m+n) = (m+n)(3+a) \)
Понякога, за да се получи еднакъв множител в скобите, е необходимо да се изнесе отрицателен знак ((–1)\), което сменя знаците на членовете в скобите. Например: \(-x+y = -(x-y)\).
Да разложим \(a(x-y) - x+y\):
За да получим \((x-y)\) от вторите два члена, изнасяме \(-1\): \[ a(x-y) - (x-y) \] Сега общият множител е \((x-y)\): \[ (x-y)(a-1) \]
За да получим \((x-y)\) от вторите два члена, изнасяме \(-1\): \[ a(x-y) - (x-y) \] Сега общият множител е \((x-y)\): \[ (x-y)(a-1) \]
Разложете на множители \(m(a-b) + 2b - 2a\).
\( m(a-b) + 2(b-a) = m(a-b) - 2(a-b) = (a-b)(m-2) \)
Един и същ многочлен може да бъде групиран по различни начини, но крайният резултат от разлагането трябва да е един и същ (с точност до реда на множителите).
Да разложим \(x^2 + ax - 2x - 2a\):
I начин: \((x^2 + ax) + (-2x - 2a) = x(x+a) - 2(x+a) = (x+a)(x-2)\)
II начин: \((x^2 - 2x) + (ax - 2a) = x(x-2) + a(x-2) = (x-2)(x+a)\)
I начин: \((x^2 + ax) + (-2x - 2a) = x(x+a) - 2(x+a) = (x+a)(x-2)\)
II начин: \((x^2 - 2x) + (ax - 2a) = x(x-2) + a(x-2) = (x-2)(x+a)\)
Разложете \(10ax - 5bx + 2ay - by\) като групирате първо по \(x\) и \(y\), а след това по \(a\) и \(b\).
I начин: \((10ax + 2ay) - (5bx + by) = 2a(5x+y) - b(5x+y) = (5x+y)(2a-b)\)
II начин: \((10ax - 5bx) + (2ay - by) = 5x(2a-b) + y(2a-b) = (2a-b)(5x+y)\)
II начин: \((10ax - 5bx) + (2ay - by) = 5x(2a-b) + y(2a-b) = (2a-b)(5x+y)\)
Някои квадратни тричлени (многочлени с три члена от втора степен) могат да бъдат разложени чрез групиране, като представим средния член като сбор или разлика на два други члена. Така тричленът става четиричлен и може да се групира.
Разложете \(x^2 + 3x + 2\).
Представяме \(3x\) като \(x+2x\): \[ x^2 + x + 2x + 2 \] Групираме и разлагаме: \[ (x^2+x) + (2x+2) = x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x+2) \]
Представяме \(3x\) като \(x+2x\): \[ x^2 + x + 2x + 2 \] Групираме и разлагаме: \[ (x^2+x) + (2x+2) = x(x+1) + 2(x+1) = (x+1)(x+2) \]
Разложете \(x^2 - 5x + 6\) като представите \(-5x\) като \(-2x - 3x\).
\( x^2 - 2x - 3x + 6 = (x^2 - 2x) + (-3x + 6) =\)
\(= x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3) \)
Задачи за упражнение
Лесна: Разложете на множители \(7x+7y+ax+ay\).
\( (7x+7y) + (ax+ay) = 7(x+y) + a(x+y) = (x+y)(7+a) \)
Средна: Разложете на множители \(ax - ay - bx + by\).
\( (ax-ay) - (bx-by) = a(x-y) - b(x-y) = (x-y)(a-b) \)
Трудна: Разложете на множители квадратния тричлен \(x^2+2x-3\).
Представяме \(2x\) като \(3x-x\):
\(x^2 + 3x - x - 3 = (x^2+3x) - (x+3) = x(x+3) - 1(x+3) = (x+3)(x-1)\)
\(x^2 + 3x - x - 3 = (x^2+3x) - (x+3) = x(x+3) - 1(x+3) = (x+3)(x-1)\)
