Най-важното от урока
Връзка вътрешен-външен ъгъл: Сумата им е \(180^\circ\).
Ако \(\alpha = 60^\circ\), то \(\alpha' = 120^\circ\).
Теорема за външен ъгъл: Външният ъгъл е сбор от двата несъседни вътрешни.
Ако \(\alpha = 50^\circ\) и \(\beta = 70^\circ\), то \(\gamma' = 120^\circ\).
Следствие: Външният ъгъл е по-голям от всеки несъседен вътрешен.
Ако \(\gamma' = 120^\circ\), то \(\alpha < 120^\circ\) и \(\beta < 120^\circ\).
Сбор на външните ъгли: Винаги е \(360^\circ\).
Ако \(\alpha' = 100^\circ, \beta' = 150^\circ\), то \(\gamma' = 110^\circ\).
Ако \(\alpha = 60^\circ\), то \(\alpha' = 120^\circ\).
Теорема за външен ъгъл: Външният ъгъл е сбор от двата несъседни вътрешни.
Ако \(\alpha = 50^\circ\) и \(\beta = 70^\circ\), то \(\gamma' = 120^\circ\).
Следствие: Външният ъгъл е по-голям от всеки несъседен вътрешен.
Ако \(\gamma' = 120^\circ\), то \(\alpha < 120^\circ\) и \(\beta < 120^\circ\).
Сбор на външните ъгли: Винаги е \(360^\circ\).
Ако \(\alpha' = 100^\circ, \beta' = 150^\circ\), то \(\gamma' = 110^\circ\).
Външен ъгъл на триъгълник се нарича ъгъл, който е съседен на вътрешен ъгъл на триъгълника. Той се получава при продължаване на една от страните на триъгълника.
Сборът на вътрешен ъгъл и неговият съседен външен ъгъл винаги е \(180^\circ\).
\[ \alpha' = 180^\circ - \alpha \]
\[ \beta' = 180^\circ - \beta \]
\[ \gamma' = 180^\circ - \gamma \]
Ако вътрешният ъгъл \(\alpha\) на един триъгълник е \(70^\circ\), то съседният му външен ъгъл \(\alpha'\) е \(180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
Вътрешният ъгъл \(\gamma\) на \(\triangle ABC\) е \(45^\circ\). Намерете големината на външния ъгъл \(\gamma'\).
\(\gamma' = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\).
Всеки външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора на двата вътрешни ъгъла, които не са му съседни.
\[ \alpha' = \beta + \gamma \]
\[ \beta' = \alpha + \gamma \]
\[ \gamma' = \alpha + \beta \]
В \(\triangle ABC\) са дадени ъгли \(\alpha = 50^\circ\) и \(\beta = 80^\circ\). Външният ъгъл \(\gamma'\) ще бъде равен на сбора на несъседните му вътрешни ъгли \(\alpha\) и \(\beta\).
\(\gamma' = \alpha + \beta = 50^\circ + 80^\circ = 130^\circ\).
\(\gamma' = \alpha + \beta = 50^\circ + 80^\circ = 130^\circ\).
В \(\triangle XYZ\) ъглите \(\angle X = 60^\circ\) и \(\angle Z = 50^\circ\). Намерете външния ъгъл при върха Y (\(\beta'\)).
Външният ъгъл \(\beta'\) е равен на сбора на несъседните му вътрешни ъгли \(\alpha\) и \(\gamma\).
\(\beta' = \alpha + \gamma = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ\).
\(\beta' = \alpha + \gamma = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ\).
Всеки външен ъгъл е по-голям от всеки от двата несъседни вътрешни ъгъла.
От \(\alpha' = \beta + \gamma\) следва, че \(\alpha' > \beta\) и \(\alpha' > \gamma\).
Ако външният ъгъл \(\gamma' = 120^\circ\), то вътрешните несъседни ъгли \(\alpha\) и \(\beta\) със сигурност са по-малки от \(120^\circ\). Например, те могат да бъдат \(\alpha = 50^\circ\) и \(\beta = 70^\circ\).
Външният ъгъл при върха A на \(\triangle ABC\) е \(\alpha' = 95^\circ\). Може ли вътрешният ъгъл \(\beta\) да бъде \(100^\circ\)?
Не, не може. Според следствието, външният ъгъл \(\alpha'\) трябва да е по-голям от несъседния му вътрешен ъгъл \(\beta\). В случая \(95^\circ < 100^\circ\), което е невъзможно.
Сборът на външните ъгли на всеки триъгълник (по един при всеки връх) е винаги \(360^\circ\).
\[ \alpha' + \beta' + \gamma' = 360^\circ \]
Ако два от външните ъгли на триъгълник са \(\alpha' = 100^\circ\) и \(\beta' = 140^\circ\), третият външен ъгъл \(\gamma'\) е:
\(\gamma' = 360^\circ - (\alpha' + \beta') = 360^\circ - (100^\circ + 140^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\).
\(\gamma' = 360^\circ - (\alpha' + \beta') = 360^\circ - (100^\circ + 140^\circ) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\).
Намерете третия външен ъгъл на триъгълник, ако два от външните му ъгли са \(115^\circ\) и \(135^\circ\).
Търсеният ъгъл е \(360^\circ - (115^\circ + 135^\circ) = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) са дадени \(\angle A = 55^\circ\) и \(\angle B = 45^\circ\). Намерете външния ъгъл при върха C.
Външният ъгъл \(\gamma'\) е равен на сбора на несъседните му вътрешни ъгли \(\alpha\) и \(\beta\).
\(\gamma' = \alpha + \beta = 55^\circ + 45^\circ = 100^\circ\).
\(\gamma' = \alpha + \beta = 55^\circ + 45^\circ = 100^\circ\).
Средна: Външният ъгъл при върха C на \(\triangle ABC\) е \(140^\circ\), а вътрешните ъгли \(\alpha\) и \(\beta\) се отнасят както \(3:4\). Намерете вътрешните ъгли на триъгълника.
1. От \(\gamma' = \alpha + \beta\) следва \(\alpha + \beta = 140^\circ\).
2. От \(\alpha : \beta = 3:4\) следва \(\alpha = 3x\) и \(\beta = 4x\).
3. Заместваме в сбора: \(3x + 4x = 140^\circ \Rightarrow 7x = 140^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\).
4. Намираме ъглите: \(\alpha = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ\), \(\beta = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ\).
5. Вътрешният ъгъл \(\gamma = 180^\circ - \gamma' = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
Отговор: \(\alpha=60^\circ, \beta=80^\circ, \gamma=40^\circ\).
2. От \(\alpha : \beta = 3:4\) следва \(\alpha = 3x\) и \(\beta = 4x\).
3. Заместваме в сбора: \(3x + 4x = 140^\circ \Rightarrow 7x = 140^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\).
4. Намираме ъглите: \(\alpha = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ\), \(\beta = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ\).
5. Вътрешният ъгъл \(\gamma = 180^\circ - \gamma' = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
Отговор: \(\alpha=60^\circ, \beta=80^\circ, \gamma=40^\circ\).
Трудна: В \(\triangle ABC\) ъглополовящата на \(\angle B\) пресича страната AC в точка L. Докажете, че \(\angle BLC > \angle BAC\).
Разглеждаме \(\triangle ABL\). Ъгъл \(\angle BLC\) е външен за този триъгълник при върха L.
Според теоремата за външен ъгъл: \(\angle BLC = \angle LAB + \angle ABL\).
\(\angle LAB\) е същото като \(\angle BAC\), а \(\angle ABL\) е половината от \(\angle ABC\).
Тъй като \(\angle ABL > 0^\circ\), от равенството \(\angle BLC = \angle BAC + \angle ABL\) следва, че \(\angle BLC > \angle BAC\).
Според теоремата за външен ъгъл: \(\angle BLC = \angle LAB + \angle ABL\).
\(\angle LAB\) е същото като \(\angle BAC\), а \(\angle ABL\) е половината от \(\angle ABC\).
Тъй като \(\angle ABL > 0^\circ\), от равенството \(\angle BLC = \angle BAC + \angle ABL\) следва, че \(\angle BLC > \angle BAC\).
