Най-важното от урока
Основен подход: Винаги опростявайте израза преди да извършвате други действия (заместване, търсене на стойност и др.).
Стъпки при опростяване:
Стъпки при опростяване:
- Приложете формулите за съкратено умножение, за да разкриете скобите. Пример: \((x-3)^2 \rightarrow x^2-6x+9\).
- Разкрийте останалите скоби, като внимавате за знаците. Пример: \( -x(x-5) \rightarrow -x^2+5x\).
- Групирайте и съберете подобните едночлени (тези с еднаква буквена част).
- Най-голяма/малка стойност: Търсете опростен вид \(C \pm kx^2\). Най-голямата стойност на \(C-kx^2\) е \(C\), а най-малката на \(C+kx^2\) е \(C\).
- Параметри: Разглеждайте параметъра като число, опростете израза и след това намерете коефициентите. Използвайте условието, за да съставите уравнение за параметъра.
Основната стратегия е да се приложат формулите за съкратено умножение, за да се разкрият скобите. След това се извършва приведение, като се групират и събират подобните едночлени.
Пример: Опростете израза \(A = (x-2)^3 - x(3-x)^2\).
Решение:
Прилагаме формулите \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) и \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). \[ A = (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - x(9 - 6x + x^2) \] Разкриваме вторите скоби: \[ A = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 9x + 6x^2 - x^3 \] Групираме и събираме подобните едночлени: \[ A = (x^3 - x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + (12x - 9x) - 8 \] \[ A = 3x - 8 \]
Решение:
Прилагаме формулите \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) и \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). \[ A = (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - x(9 - 6x + x^2) \] Разкриваме вторите скоби: \[ A = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 9x + 6x^2 - x^3 \] Групираме и събираме подобните едночлени: \[ A = (x^3 - x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + (12x - 9x) - 8 \] \[ A = 3x - 8 \]
Опростете израза \(B = (x+2)^2 - (x-1)(x+1)\).
\[ B = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 1^2) \]
\[ B = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 1 \]
\[ B = 4x + 5 \]
Опростете израза. Преди да заместите с конкретна стойност, приведете израза в нормален вид. Това значително намалява обема на изчисленията и вероятността за грешка.
Заместете и изчислете. След като изразът е опростен, заместете променливата с дадената й стойност и пресметнете резултата.
Пример: Намерете числената стойност на \(A = (2x+1)^2 + (x-2)^2 - 5x(x-1)\) за \(x = 0,2\).
1. Опростяване: \[ A = (4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 4x + 4) - (5x^2 - 5x) \] \[ A = 4x^2 + 4x + 1 + x^2 - 4x + 4 - 5x^2 + 5x = 5x + 5 \] 2. Заместване: \[ A = 5 \cdot (0,2) + 5 = 1 + 5 = 6 \]
1. Опростяване: \[ A = (4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 4x + 4) - (5x^2 - 5x) \] \[ A = 4x^2 + 4x + 1 + x^2 - 4x + 4 - 5x^2 + 5x = 5x + 5 \] 2. Заместване: \[ A = 5 \cdot (0,2) + 5 = 1 + 5 = 6 \]
Намерете числената стойност на израза \(B = (x-4)^2 - x(x-8)\) за \(x = \frac{3}{4}\).
Първо опростяваме:
\[ B = (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 8x) = x^2 - 8x + 16 - x^2 + 8x = 16 \]
Стойността на израза е 16, независимо от стойността на \(x\).
За да се докаже, че стойността на един израз не зависи от променливата (т.е. е константа), трябва да се опрости изразът. Ако след опростяването всички членове, съдържащи променливата, се унищожат и остане само число, значи твърдението е доказано.
Пример: Докажете, че стойността на израза \(A = (2x+1)^3 - 2x(2x-3)^2 - 12x(3x-1)\) е константа.
Решение: \[ A = (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) - 2x(4x^2 - 12x + 9) - (36x^2 - 12x) \] \[ A = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 - 8x^3 + 24x^2 - 18x - 36x^2 + 12x \] \[ A = (8x^3-8x^3) + (12x^2+24x^2-36x^2) + (6x-18x+12x) + 1 = 1 \] Тъй като резултатът е 1, стойността на израза е константа.
Решение: \[ A = (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) - 2x(4x^2 - 12x + 9) - (36x^2 - 12x) \] \[ A = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 - 8x^3 + 24x^2 - 18x - 36x^2 + 12x \] \[ A = (8x^3-8x^3) + (12x^2+24x^2-36x^2) + (6x-18x+12x) + 1 = 1 \] Тъй като резултатът е 1, стойността на израза е константа.
Зависи ли стойността на израза \(C = (x-2)(x+2) - (x-5)^2 + 10x\) от \(x\)?
\[ C = (x^2 - 4) - (x^2 - 10x + 25) + 10x \]
\[ C = x^2 - 4 - x^2 + 10x - 25 + 10x = 20x - 29 \]
Тъй като след опростяване изразът съдържа \(x\), стойността му зависи от \(x\).
За да намерим най-голяма или най-малка стойност, опростяваме израза до вид, в който променливата участва само като \(x^2\).
- Израз от вида \(C - kx^2\) (където \(k>0\)) има най-голяма стойност \(C\), която се достига при \(x=0\).
- Израз от вида \(C + kx^2\) (където \(k>0\)) има най-малка стойност \(C\), която се достига при \(x=0\).
Пример: Намерете най-голямата стойност на израза \(A = -\frac{7}{4}x^2 + \frac{5}{9}\).
Решение: Изразът е от вида \(C - kx^2\) с \(C=\frac{5}{9}\) и \(k=\frac{7}{4}\). Умалителят \(\frac{7}{4}x^2\) е винаги неотрицателен ( \(\ge 0\) ). Изразът ще е най-голям, когато умалителят е най-малък, т.е. равен на 0. Това се случва при \(x=0\). Най-голямата стойност е \(A = \frac{5}{9}\).
Решение: Изразът е от вида \(C - kx^2\) с \(C=\frac{5}{9}\) и \(k=\frac{7}{4}\). Умалителят \(\frac{7}{4}x^2\) е винаги неотрицателен ( \(\ge 0\) ). Изразът ще е най-голям, когато умалителят е най-малък, т.е. равен на 0. Това се случва при \(x=0\). Най-голямата стойност е \(A = \frac{5}{9}\).
Намерете най-малката стойност на израза \(D = (x+3)^2 - x(x-1) - 7x\).
Опростяваме израза:
\[ D = (x^2 + 6x + 9) - (x^2 - x) - 7x \]
\[ D = x^2 + 6x + 9 - x^2 + x - 7x = (x^2 - x^2) + (6x + x - 7x) + 9 = 9 \]
Изразът е равен на константата 9. Неговата най-малка (и единствена) стойност е 9.
Параметърът е константа, означена с буква (напр. \(m\), \(n\), \(a\)). При опростяване на израза се работи с параметъра както с всяко друго число. След привеждане на многочлена в нормален вид, коефициентите пред степените на \(x\) и свободният член ще зависят от параметъра. Използвайте даденото в условието свойство (напр. "коефициентът пред \(x\) е 10"), за да съставите уравнение и да намерите стойността на параметъра.
Пример: За коя стойност на параметъра \(m\) в израза \(A = 3x^2 - 2xm - 2m^2\) коефициентът на члена от първа степен е 10?
Решение: Членът от първа степен е \(-2xm\). Неговият коефициент е \(-2m\). Приравняваме го на 10: \[ -2m = 10 \] \[ m = -5 \]
Решение: Членът от първа степен е \(-2xm\). Неговият коефициент е \(-2m\). Приравняваме го на 10: \[ -2m = 10 \] \[ m = -5 \]
Даден е изразът \(B = (x+m)^2 - (x-3)^2\). Намерете стойността на параметъра \(m\), за която коефициентът пред \(x\) е равен на 12.
Опростяваме израза:
\[ B = (x^2 + 2mx + m^2) - (x^2 - 6x + 9) \]
\[ B = x^2 + 2mx + m^2 - x^2 + 6x - 9 \]
\[ B = (2m+6)x + (m^2-9) \]
Коефициентът пред \(x\) е \((2m+6)\). Приравняваме го на 12:
\[ 2m + 6 = 12 \Rightarrow 2m = 6 \Rightarrow m = 3 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \(A = (2x-3)^2 - (3x-2)(x-1) - x^2\).
\[ A = (4x^2 - 12x + 9) - (3x^2 - 3x - 2x + 2) - x^2 \]
\[ A = 4x^2 - 12x + 9 - 3x^2 + 5x - 2 - x^2 \]
\[ A = (4x^2 - 3x^2 - x^2) + (-12x + 5x) + (9 - 2) \]
\[ A = -7x + 7 \]
Средна: Намерете числената стойност на израза \(B = \left(x-\frac{1}{2}\right)^3 - x\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\) за \(x = -2\).
Опростяваме израза:
\[ B = \left(x^3 - 3x^2\frac{1}{2} + 3x\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^3\right) - x\left(x^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \]
\[ B = \left(x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x - \frac{1}{8}\right) - x\left(x^2 - \frac{1}{4}\right) \]
\[ B = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x - \frac{1}{8} - x^3 + \frac{1}{4}x \]
\[ B = -\frac{3}{2}x^2 + \left(\frac{3}{4}x + \frac{1}{4}x\right) - \frac{1}{8} = -\frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{8} \]
Заместваме \(x = -2\):
\[ B = -\frac{3}{2}(-2)^2 + (-2) - \frac{1}{8} = -\frac{3}{2}(4) - 2 - \frac{1}{8} = -6 - 2 - \frac{1}{8} = -8 - \frac{1}{8} = -8\frac{1}{8} \]
Трудна: Намерете най-голямата стойност на израза \(C = (5-2x)^2 - (x+3)(x-3) - 3x(x-4)\).
Опростяваме израза:
\[ C = (25 - 20x + 4x^2) - (x^2 - 9) - (3x^2 - 12x) \]
\[ C = 25 - 20x + 4x^2 - x^2 + 9 - 3x^2 + 12x \]
Групираме подобните едночлени:
\[ C = (4x^2 - x^2 - 3x^2) + (-20x + 12x) + (25 + 9) \]
\[ C = 0 \cdot x^2 - 8x + 34 = -8x + 34 \]
Изразът е линеен \(C = -8x+34\). Той няма най-голяма стойност (може да става произволно голям, ако \(x\) е достатъчно голямо отрицателно число).
Ако в задачата се търси най-голямата стойност, обикновено изразът се опростява до вида \(A - Bx^2\), където \(B>0\). Например, ако изразът беше \(34-8x^2\), най-голямата му стойност щеше да бъде 34.
