Най-важното от урока
Ключови изводи:
1. Опростяване: Винаги започвайте с разкриване на скобите и опростяване на израза.
2. Изолиране на \(x\): Прехвърлете членовете с \(x\) от едната страна, а свободните от другата.
3. Правило за знака: Най-важното правило! При умножение или деление с ОТРИЦАТЕЛНО число, обърнете знака на неравенството. Пример: \( -2x > 8 \) става \( x < -4 \).
4. Специални случаи:
1. Опростяване: Винаги започвайте с разкриване на скобите и опростяване на израза.
2. Изолиране на \(x\): Прехвърлете членовете с \(x\) от едната страна, а свободните от другата.
3. Правило за знака: Най-важното правило! При умножение или деление с ОТРИЦАТЕЛНО число, обърнете знака на неравенството. Пример: \( -2x > 8 \) става \( x < -4 \).
4. Специални случаи:
- \( (израз)^2 \ge 0 \) е вярно за всяко \(x\).
- \( (израз)^2 < 0 \) никога не е вярно (няма решение).
Целта при решаване на неравенство е да се изолира неизвестното \(x\) от едната страна, като се прилагат едни и същи операции от двете страни на неравенството.
Разкрийте скобите и извършете означените действия.
Прехвърлете всички членове, съдържащи \(x\), от едната страна на неравенството, а свободните членове – от другата (при прехвърляне знакът се сменя).
Опростете изразите от двете страни и изолирайте \(x\).
Да решим неравенството \( 3x(x+2)-2x(x+1)+4 > x^2 \):
\[ 3x^2+6x-2x^2-2x+4 > x^2 \]
\[ x^2+4x+4 > x^2 \]
Прехвърляме \(x^2\):
\[ x^2 - x^2 + 4x > -4 \]
\[ 4x > -4 \]
Делим на 4:
\[ x > -1 \]
Решението е интервалът \( (-1, \infty) \).
Решете неравенството \( 5x - 7 > 8 \).
\[ 5x > 8 + 7 \]
\[ 5x > 15 \]
\[ x > 3 \]
Решението е \( x \in (3, \infty) \).
При умножение или деление на двете страни на неравенство с отрицателно число, посоката на знака на неравенството се обръща.
\( > \) става \( < \)
\( < \) става \( > \)
\( \geq \) става \( \leq \)
\( \leq \) става \( \geq \)
\( > \) става \( < \)
\( < \) става \( > \)
\( \geq \) става \( \leq \)
\( \leq \) става \( \geq \)
При решаване на неравенството \( (x+3)(x-3)-2(5x-17) < x^2-5 \), стигаме до:
\[ -10x < -30 \]
За да намерим \(x\), делим двете страни на \(-10\). Тъй като числото е отрицателно, обръщаме знака:
\[ x > \frac{-30}{-10} \]
\[ x > 3 \]
Решете неравенството \( -3x \geq 12 \).
Делим на \(-3\) и обръщаме знака:
\[ x \leq \frac{12}{-3} \]
\[ x \leq -4 \]
Решението е \( x \in (-\infty, -4] \).
Понякога след опростяване неравенството се свежда до израз, включващ \(x^2\), който има универсално решение.
- \( \boldsymbol{x^2 \ge 0} \) или \( \boldsymbol{(израз)^2 \ge 0} \): Вярно за всяко реално число \(x\). Решение: \( x \in (-\infty, \infty) \).
- \( \boldsymbol{x^2 > 0} \) или \( \boldsymbol{(израз)^2 > 0} \): Вярно за всяко \(x\), за което основата е различна от нула. Решение: \( x \neq 0 \) (или \(израз \neq 0\)).
- \( \boldsymbol{x^2 < 0} \) или \( \boldsymbol{(израз)^2 < 0} \): Няма реално решение, тъй като квадратът на всяко реално число е неотрицателен.
- \( \boldsymbol{x^2 \le 0} \) или \( \boldsymbol{(израз)^2 \le 0} \): Има решение само когато основата е равна на нула. Решение: \( x = 0 \) (или \(израз = 0\)).
Да решим неравенството \( (2x+3)^2-3x(x+4)-9 > 0 \):
\[ 4x^2+12x+9-3x^2-12x-9 > 0 \]
\[ x^2 > 0 \]
Това е вярно за всяко реално число \(x\), освен за \(x=0\). Решение: \( x \neq 0 \).
Решете неравенството \( (x-2)(x+2) < 4(x-2) \).
\[ x^2 - 4 < 4x - 8 \]
\[ x^2 - 4x + 4 < 0 \]
\[ (x-2)^2 < 0 \]
Квадратът на число не може да бъде отрицателен.
Отговор: Неравенството няма решение.
Отговор: Неравенството няма решение.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете неравенството \( (x-1)^2 \leq x(x-3) \).
\[ x^2 - 2x + 1 \leq x^2 - 3x \]
\[ -2x + 1 \leq -3x \]
\[ -2x + 3x \leq -1 \]
\[ x \leq -1 \]
Решение: \( x \in (-\infty, -1] \).
Средна: Решете неравенството \( (2x-3)^2 \leq 4(x-1)(x+1) \).
\[ (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 \leq 4(x^2 - 1) \]
\[ 4x^2 - 12x + 9 \leq 4x^2 - 4 \]
\[ -12x + 9 \leq -4 \]
\[ -12x \leq -4 - 9 \]
\[ -12x \leq -13 \]
Делим на \(-12\) и обръщаме знака:
\[ x \geq \frac{-13}{-12} \]
\[ x \geq \frac{13}{12} \]
Решение: \( x \in [\frac{13}{12}, \infty) \).
Трудна: Намерете за кои стойности на \(x\) неравенството \( (x+3)^2 \geq 12x \) е вярно.
\[ x^2 + 6x + 9 \geq 12x \]
\[ x^2 + 6x - 12x + 9 \geq 0 \]
\[ x^2 - 6x + 9 \geq 0 \]
Разпознаваме формулата за съкратено умножение \( (a-b)^2 \):
\[ (x-3)^2 \geq 0 \]
Това неравенство е вярно за всяко реално число \(x\), тъй като квадратът на всяко число е винаги по-голям или равен на нула.
Отговор: \( x \in (-\infty, \infty) \).
Отговор: \( x \in (-\infty, \infty) \).
