116. Признаци За Успоредник

За да решим задачата, ще използваме свойствата на успоредника и признаците за еднаквост на триъгълници. Тъй като не можем да използваме теорема за средна отсечка (която се учи в по-горен клас), ще докажем, че срещуположните страни на четириъгълника \(MNPQ\) са равни, като разгледаме "ъгловите" триъгълници.

Стъпка 1: Използване на свойствата на страните и ъглите на успоредника \(ABCD\)

Тъй като \(ABCD\) е успоредник, знаем, че срещуположните му страни са равни и срещуположните му ъгли са равни: 1. \(AB = CD\) и \(AD = BC\) 2. \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\)

Стъпка 2: Изразяване на отсечките чрез техните среди

Точките \(M, N, P, Q\) са среди съответно на страните \(AB, BC, CD, AD\). Това означава, че те разделят страните на две равни части. Тъй като \(AB = CD\), то техните половинки също са равни: \[ AM = MB = CP = DP \] Тъй като \(AD = BC\), то техните половинки също са равни: \[ AQ = DQ = BN = CN \]

Стъпка 3: Доказване на еднаквост на триъгълниците \(\triangle AMQ\) и \(\triangle CPN\)

Разглеждаме \(\triangle AMQ\) и \(\triangle CPN\): 1. \(AM = CP\) (от Стъпка 2) 2. \(AQ = CN\) (от Стъпка 2) 3. \(\angle A = \angle C\) (противоположни ъгли в успоредник) Според **Първи признак за еднаквост на триъгълници** (две страни и ъгъл между тях), следва че: \[ \triangle AMQ \cong \triangle CPN \] От еднаквостта на триъгълниците следва, че съответните им трети страни са равни: \[ MQ = NP \]

Стъпка 4: Доказване на еднаквост на триъгълниците \(\triangle MBN\) и \(\triangle PDQ\)

По аналогичен начин разглеждаме \(\triangle MBN\) и \(\triangle PDQ\): 1. \(MB = DP\) (от Стъпка 2) 2. \(BN = DQ\) (от Стъпка 2) 3. \(\angle B = \angle D\) (противоположни ъгли в успоредник) Според **Първи признак**, следва че: \[ \triangle MBN \cong \triangle PDQ \] От това следва равенството на страните: \[ MN = PQ \]

Стъпка 5: Извод за вида на четириъгълника \(MNPQ\)

Получихме, че в четириъгълника \(MNPQ\): - \(MQ = NP\) - \(MN = PQ\) Четириъгълник, на който срещуположните страни са две по две равни, е успоредник. Следователно, \(MNPQ\) е успоредник.

\(ABCD\) успоредник \(\implies AB=CD, AD=BC, \angle A=\angle C, \angle B=\angle D\) \(M, N, P, Q\) среди \(\implies AM=MB=CP=DP\) и \(AQ=DQ=BN=CN\) \(\triangle AMQ \cong \triangle CPN\) (по I признак: \(AM=CP, AQ=CN, \angle A=\angle C\)) \(\implies MQ=NP\) \(\triangle MBN \cong \triangle PDQ\) (по I признак: \(MB=DP, BN=DQ, \angle B=\angle D\)) \(\implies MN=PQ\) \(MQ=NP\) и \(MN=PQ \implies MNPQ\) е успоредник.