Обложка

86. Признак За Еднаквост На Два Правоъгълни Триъгълника

Решения + Преговор
Урок
Тест

Избери решение на задача:

Задача 1 (безплатна)

Кратко решение

Дадено: \( \triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1 \) – остроъгълни, \( AC = A_1C_1 \), \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \), \( AD \perp BC, A_1D_1 \perp B_1C_1, AD = A_1D_1 \) Да се докаже: а) \( \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 \); б) \( BC = B_1C_1 \) Доказателство:
а)
Разглеждаме правоъгълните \( \Delta ADC \) (\( \angle D = 90^\circ \)) и \( \Delta A_1D_1C_1 \) (\( \angle D_1 = 90^\circ \)): 1. \( AC = A_1C_1 \) (по усл.) 2. \( AD = A_1D_1 \) (по усл.) \( \Rightarrow \Delta ADC \cong \Delta A_1D_1C_1 \) (IV пр.) \( \Rightarrow \angle ACD = \angle A_1C_1D_1 \) \( \Rightarrow \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 \)
б)
Разглеждаме \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \): 1. \( AC = A_1C_1 \) (по усл.) 2. \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \) (по усл.) 3. \( \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 \) (док. в а) \( \Rightarrow \Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1 \) (II пр.) \( \Rightarrow BC = B_1C_1 \)

Подробно решение

Доказване на подточка а)

В тази стъпка ще разгледаме два правоъгълни триъгълника, образувани от височините в дадените триъгълници, за да докажем равенството на ъглите при върха \( C \). 1. Тъй като \( AD \) и \( A_1D_1 \) са височини към страните \( BC \) и \( B_1C_1 \), то триъгълниците \( \Delta ADC \) и \( \Delta A_1D_1C_1 \) са правоъгълни с \( \angle ADC = \angle A_1D_1C_1 = 90^\circ \). 2. Разглеждаме правоъгълните триъгълници \( \Delta ADC \) и \( \Delta A_1D_1C_1 \): \[ \begin{array}{l|l} \text{1. } AC = A_1C_1 & \text{по условие (хипотенузи)} \\ \text{2. } AD = A_1D_1 & \text{по условие (катети)} \end{array} \] 3. Следователно \( \Delta ADC \cong \Delta A_1D_1C_1 \) по IV признак за еднаквост на правоъгълни триъгълници (хипотенуза и катет). 4. От еднаквостта на триъгълниците следва, че съответните им ъгли са равни: \[ \angle ACD = \angle A_1C_1D_1 \] Тъй като точките \( D \) и \( D_1 \) лежат съответно на страните \( BC \) и \( B_1C_1 \), то \( \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 \).

Доказване на подточка б)

Сега ще използваме доказаното равенство на ъглите, за да докажем еднаквостта на основните триъгълници и съответно равенството на страните \( BC \) и \( B_1C_1 \). 1. Разглеждаме \( \Delta ABC \) и \( \Delta A_1B_1C_1 \): \[ \begin{array}{l|l} \text{1. } AC = A_1C_1 & \text{по условие} \\ \text{2. } \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 & \text{по условие} \\ \text{3. } \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 & \text{доказано в подточка а)} \end{array} \] 2. Следователно \( \Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1 \) по II признак (страна и два прилежащи ъгъла). 3. От еднаквостта на триъгълниците следва равенството на съответните страни: \[ BC = B_1C_1 \] С това задачата е доказана.

Кратък запис на решението:

а) \( \Delta ADC \cong \Delta A_1D_1C_1 \) (IV пр.: \( AC=A_1C_1, AD=A_1D_1, \angle D=\angle D_1=90^\circ \)) \( \Rightarrow \angle ACB = \angle A_1C_1B_1 \) б) \( \Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1 \) (II пр.: \( AC=A_1C_1, \angle A=\angle A_1, \angle C=\angle C_1 \)) \( \Rightarrow BC = B_1C_1 \)

Най-важното от урока

IV признак за еднаквост: Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни катет и хипотенуза.
Приложение: Този признак се използва за доказване на равенство на страни и ъгли в по-сложни фигури. Например, ако височините към бедрата в един триъгълник са равни, то триъгълникът е равнобедрен.
Други признаци за правоъгълни триъгълници:
  • Два катета (I признак)
  • Катет и остър ъгъл (II признак)
  • Хипотенуза и остър ъгъл (III признак)
Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако катет и хипотенуза от единия триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от другия триъгълник.
Дадени са правоъгълните \(\triangle ABC\) (\(\angle C=90^\circ\)) и \(\triangle A_1B_1C_1\) (\(\angle C_1=90^\circ\)). Ако знаем, че:
  • хипотенуза \(AB\) = хипотенуза \(A_1B_1\)
  • катет \(AC\) = катет \(A_1C_1\)
то можем да заключим, че \(\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1\) по IV признак. {Два правоъгълни триъгълника, ABC и A₁B₁C₁, които са огледални един на друг. И на двата хипотенузата е означена с 'c', а единият катет с 'a'. Илюстрира, че при равни катет и хипотенуза, триъгълниците са еднакви.}
Правоъгълен \(\triangle XYZ\) има \(\angle Z = 90^\circ\), катет \(XZ = 12\) cm и хипотенуза \(XY = 13\) cm. Правоъгълен \(\triangle FGH\) има \(\angle H = 90^\circ\), катет \(FH = 12\) cm и хипотенуза \(FG = 13\) cm. Еднакви ли са триъгълниците?
Да, триъгълниците са еднакви по IV признак (катет и хипотенуза).
Стандартните признаци за еднаквост имат специфични имена, когато се прилагат за правоъгълни триъгълници, тъй като единият ъгъл винаги е \(90^\circ\).
  • I признак (два катета): Ако двата катета на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на двата катета на друг.
  • II признак (катет и остър ъгъл): Ако катет и остър ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на катет и остър ъгъл на друг.
  • III признак (хипотенуза и остър ъгъл): Ако хипотенуза и остър ъгъл на един правоъгълен триъгълник са съответно равни на хипотенуза и остър ъгъл на друг.
  • IV признак (катет и хипотенуза): Специален признак само за правоъгълни триъгълници.
Два правоъгълни триъгълника имат обща хипотенуза. Острите ъгли при единия връх на хипотенузата са равни. По кой признак са еднакви триъгълниците?
Триъгълниците са еднакви по III признак (хипотенуза и остър ъгъл).
IV признак е мощен инструмент за доказване на свойства на геометрични фигури. Често се използва за доказване, че даден триъгълник е равнобедрен.
Задача: Ако височините към бедрата в един триъгълник са равни, докажете, че той е равнобедрен.
Доказателство: {Остроъгълен триъгълник ABC с височини AH₁ към BC и BH₂ към AC. Триъгълниците ABH₁ и BAH₂ са оцветени, за да се подчертае, че те са правоъгълни и имат обща хипотенуза AB.} Нека в \(\triangle ABC\) височините са \(AH_1=BH_2\). Разглеждаме правоъгълните \(\triangle ABH_1\) и \(\triangle BAH_2\).
  1. \(\angle AH_1B = \angle BH_2A = 90^\circ\) (от определението за височина).
  2. \(AB\) е обща страна (и е хипотенуза и за двата триъгълника).
  3. \(AH_1 = BH_2\) (по условие).
От (1), (2) и (3) следва, че \(\triangle ABH_1 \cong \triangle BAH_2\) (по IV признак). От еднаквостта следва, че съответните им ъгли са равни, т.е. \(\angle ABH_1 = \angle BAH_2\), което означава \(\angle ABC = \angle BAC\). Следователно \(\triangle ABC\) е равнобедрен.

Задачи за упражнение

Лесна: В правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) катетът \(AC=7\) cm. В правоъгълен \(\triangle MNK\) (\(\angle K = 90^\circ\)) катетът \(MK=7\) cm, а хипотенузата \(MN=9\) cm. Каква трябва да е дължината на хипотенузата \(AB\), за да са двата триъгълника еднакви?
За да са еднакви по IV признак, катетите и хипотенузите им трябва да са съответно равни. Тъй като \(AC=MK=7\) cm, то хипотенузите също трябва да са равни.
Отговор: \(AB\) трябва да бъде 9 cm.
Средна: Даден е четириъгълник ABCD, в който \(\angle D = \angle C = 90^\circ\). Ако диагоналите му \(AC\) и \(BD\) са равни, докажете, че бедрата \(AD\) и \(BC\) също са равни.
Разглеждаме правоъгълните триъгълници \(\triangle ADC\) (\(\angle D = 90^\circ\)) и \(\triangle BCD\) (\(\angle C = 90^\circ\)).
  1. \(DC\) е общ катет и за двата триъгълника.
  2. \(AC = BD\) (хипотенузите са равни по условие).
Следователно \(\triangle ADC \cong \triangle BCD\) по IV признак (катет и хипотенуза). От еднаквостта следва, че съответните им страни са равни, т.е. \(AD = BC\).
Трудна: В окръжност с център O са дадени две хорди AB и CD. Разстоянията от центъра до хордите са равни (т.е. ако \(OH_1 \perp AB\) и \(OH_2 \perp CD\), то \(OH_1 = OH_2\)). Докажете, че хордите са равни (\(AB=CD\)).
Разглеждаме правоъгълните триъгълници \(\triangle OH_1A\) и \(\triangle OH_2C\).
  1. \(\angle OH_1A = \angle OH_2C = 90^\circ\) (по условие).
  2. \(OA = OC\) (те са радиуси на окръжността и хипотенузи на триъгълниците).
  3. \(OH_1 = OH_2\) (катетите са равни по условие).
Следователно \(\triangle OH_1A \cong \triangle OH_2C\) по IV признак (катет и хипотенуза). Оттук следва, че \(AH_1 = CH_2\).
Знаем, че перпендикулярът от центъра към хорда я разполовява.
Следователно \(AB = 2 \cdot AH_1\) и \(CD = 2 \cdot CH_2\).
Тъй като \(AH_1 = CH_2\), то \(AB=CD\).

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

103886 решения

1942 уроци и тестове

Иконка Математика
4 клас
5 клас
6 клас
7 клас
8 клас
9 клас
10 клас
11 клас
12 клас

Физика

8909 решения

462 уроци и тестове

Иконка Физика

Химия

7875 решения

528 уроци и тестове

Иконка Химия

История

3655 отговори на въпроси

1720 резюмета и тестове

Иконка История

Литература

773 материали

Иконка Литература
5 клас
6 клас
7 клас
8 клас
9 клас
10 клас
11 клас
12 клас

Биология

+Човек и Природа

2258 отговори | 444 уроци

Иконка Биология

География

1137 отговори на въпроси

747 уроци

Иконка География

Български език

1782 решения

524 резюмета и тестове

Иконка Български език

PhotoSolveAI

Решение на задачи от снимка

Иконка Литература

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст
Научи повече