Най-важното от урока
Основни изводи:
- ФСУ: \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \), \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), \( a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \).
- Разлагане на множители: Винаги първо се търси общ множител, след това ФСУ и накрая групиране или допълване до точен квадрат.
- Уравнения: При \( ax = -b \), ако \( a \ne 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \); при \( 0x = 0 \) всяко число е корен; при \( 0x = -b \) няма корен. Произведение е 0, когато поне един множител е 0.
- Модул: \( |ax+b| = c \) има 2 корена при \( c > 0 \), 1 корен при \( c = 0 \) и няма корен при \( c < 0 \).
- Неравенства: При деление/умножение с отрицателно число знакът на неравенството се обръща (\( < \) става \( > \)).
- Движение: \( S = v \cdot t \). При воден транспорт: \( v_{\text{по}} = v_{\text{сп}} + v_{\text{теч}} \) и \( v_{\text{срещу}} = v_{\text{сп}} - v_{\text{теч}} \).
Многочлени се умножават, като всеки член на единия многочлен се умножи с всеки член на другия многочлен и получените едночлени се съберат.
\[ (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \]
\[ (a + b)(m + n + p) = am + an + ap + bm + bn + bp \]
При умножение на многочлени са в сила комутативното (\( u \cdot v = v \cdot u \)) и асоциативното (\( (u \cdot v)w = u(v \cdot w) \)) свойства. Полученият резултат винаги се привежда в нормален вид (чрез приведение на подобните едночлени и подреждане по намаляващите степени на променливата).
\[ (2x - 3)(x^2 - x + 5) = 2x(x^2 - x + 5) - 3(x^2 - x + 5) \]
\[ = 2x^3 - 2x^2 + 10x - 3x^2 + 3x - 15 = 2x^3 - 5x^2 + 13x - 15 \]
Извършете умножението: \( (x - 2)(x + 3) \)
\[ (x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6 \]
1. Квадрат на сбор и разлика:
\[ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \]
2. Произведение на сбор и разлика (Разлика на квадрати):
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
3. Куб на сбор и разлика:
\[ (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 \]
4. Сбор и разлика на кубове:
\[ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \]
5. Квадрат на тричлен:
\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Непълен квадрат: Изразите \( a^2 - ab + b^2 \) и \( a^2 + ab + b^2 \) се наричат непълни квадрати съответно на разлика и на сбор, тъй като в тях липсва коефициент 2 пред смесеното произведение.
Формулите позволяват бързо рационално смятане на числови изрази:
• \( 51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 \)
• \( 27 \cdot 33 = (30 - 3)(30 + 3) = 30^2 - 3^2 = 900 - 9 = 891 \)
• \( 51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601 \)
• \( 27 \cdot 33 = (30 - 3)(30 + 3) = 30^2 - 3^2 = 900 - 9 = 891 \)
Опростете израза: \( A = (2x - 1)^2 - (2x + 3)(2x - 3) \)
Прилагаме формулите за квадрат на разлика и разлика на квадрати:
\[ A = (4x^2 - 4x + 1) - ((2x)^2 - 3^2) \]
\[ A = 4x^2 - 4x + 1 - (4x^2 - 9) = 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 + 9 = -4x + 10 \]
Да се разложи многочлен на прости множители означава да се представи като произведение от множители, които повече не могат да се разлагат.
Търси се общ числов и буквен множител за всички събираеми и се изнася пред скоби:
\[ ab + ac = a(b + c) \]
Търси се съответствие с дясната страна на някоя от формулите за съкратено умножение:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
\[ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 \]
\[ a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \]
Членовете се обединяват в групи с общ множител (по двойки или тройки). При квадратни тричлени от вида \( ax^2 + bx + c \) средният член може да се раздели на две събираеми, за да се групира:
\[ x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) \]
Чрез отделяне на точен квадрат квадратен тричлен се представя във вида \( (x \pm k)^2 + C \):
• Позволява разлагане, ако се получи разлика на квадрати: \( x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = (x + 3 - 4)(x + 3 + 4) = (x - 1)(x + 7) \).
• Позволява намиране на най-малка стойност: Тъй като \( (x - 5)^2 \ge 0 \), то \( A = (x - 5)^2 - 9 \) има най-малка стойност \( -9 \) при \( x = 5 \).
• Позволява разлагане, ако се получи разлика на квадрати: \( x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = (x + 3 - 4)(x + 3 + 4) = (x - 1)(x + 7) \).
• Позволява намиране на най-малка стойност: Тъй като \( (x - 5)^2 \ge 0 \), то \( A = (x - 5)^2 - 9 \) има най-малка стойност \( -9 \) при \( x = 5 \).
Разложете на множители: \( 3x^3 - 12x \)
1. Изнасяме общ множител \( 3x \):
\[ 3x(x^2 - 4) \]
2. Разлагаме скобите по формулата за разлика на квадрати:
\[ 3x(x - 2)(x + 2) \]
Линейно уравнение: Уравнение от вида \( ax + b = 0 \).
Изследване на решенията на уравнението \( ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b \):
- При \( a \ne 0 \): има точно едно решение \( x = -\frac{b}{a} \).
- При \( a = 0, b = 0 \) (\( 0 \cdot x = 0 \)): всяко число е корен (тъждество).
- При \( a = 0, b \ne 0 \) (\( 0 \cdot x = -b \)): няма корен.
Уравнение от вида \( (ax + b)(cx + d) = 0 \):
\[ (ax + b)(cx + d) = 0 \iff ax + b = 0 \quad \text{или} \quad cx + d = 0 \]
Модулно уравнение \( |ax + b| = c \) (\( a \ne 0 \)):
- При \( c > 0 \): уравнението има два корена: \( ax + b = c \) или \( ax + b = -c \).
- При \( c = 0 \): един корен: \( ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \).
- При \( c < 0 \): няма корени (модулът винаги е неотрицателен).
Полезни свойства на абсолютната стойност: \( |a - b| = |b - a| \), \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \).
Решете уравнението: \( |2x - 3| = 5 \)
Тъй като \( 5 > 0 \), разглеждаме два случая:
1) \( 2x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x_1 = 4 \)
2) \( 2x - 3 = -5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x_2 = -1 \)
Отговор: \( x_1 = 4; \, x_2 = -1 \).
1) \( 2x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x_1 = 4 \)
2) \( 2x - 3 = -5 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x_2 = -1 \)
Отговор: \( x_1 = 4; \, x_2 = -1 \).
Теореми за еквивалентност:
- Всеки член може да се прехвърли от едната страна в другата с противоположен знак.
- Двете страни могат да се умножат или разделят с положително число (\( c > 0 \)) без промяна на посоката на неравенството.
- При умножение или деление с отрицателно число (\( c < 0 \)), посоката на знака на неравенството задължително се обръща: \[ -2x < 6 \quad |:(-2) \implies x > -3 \]
Записване на решенията и геометрично представяне:
| Неравенство | Интервал | Точка върху числовата ос |
|---|---|---|
| \( x > a \) / \( x < a \) | \( (a; +\infty) \) / \( (-\infty; a) \) | Празно (светло) кръгче (числото не е решение) |
| \( x \ge a \) / \( x \le a \) | \( [a; +\infty) \) / \( (-\infty; a] \) | Плътно (тъмно) кръгче (числото е решение) |
Ако даден множител е строго положителен за всяко \( x \) (напр. \( x^2 + 1 > 0 \)), той може да се съкрати:
\[ (x - 2)(x^2 + 1) > 0 \iff x - 2 > 0 \iff x > 2 \]
Решете неравенството: \( \frac{x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} \ge 1 \)
Умножаваме двете страни по НОК(2, 3) = 6:
\[ 2(x - 1) - 3(x + 1) \ge 6 \]
\[ 2x - 2 - 3x - 3 \ge 6 \]
\[ -x - 5 \ge 6 \Rightarrow -x \ge 11 \quad | \cdot (-1) \]
\[ x \le -11 \]
Отговор: \( x \in (-\infty; -11] \).
\[ S = v \cdot t \qquad v = \frac{S}{t} \qquad t = \frac{S}{v} \]
където \( S \) е изминатият път, \( v \) е скоростта, а \( t \) е времето на движение.
Движение по и срещу течение на река:
- Скорост по течението: \( v_{\text{по теч.}} = v_{\text{сп. вода}} + v_{\text{теч.}} \)
- Скорост срещу течението: \( v_{\text{срещу теч.}} = v_{\text{сп. вода}} - v_{\text{теч.}} \)
- Скорост на сал: \( v_{\text{сал}} = v_{\text{теч.}} \)
- Избира се неизвестно \( x \) (обикновено времето \( t \) или пътят \( S \)) с допустими стойности \( x > 0 \).
- Всички мерни единици се уеднаквяват (минутите се превръщат в часове: \( 15\text{ min} = \frac{1}{4}\text{ h} \)).
- Попълва се таблица с величините \( S, v, t \) за всеки участник.
- Съставя се уравнение според условието:
• При насрещно движение (среща): \( S_1 + S_2 = S_{\text{общо}} \)
• При движение в една посока (догонване): \( S_1 = S_2 \)
• Чрез зависимост между времената: \( t_1 - t_2 = t_{\text{разлика}} \)
Разстоянието между селищата A и B е 120 km. От A към B тръгва камион със скорост 60 km/h, а едновременно от B към A тръгва лека кола със скорост 90 km/h. След колко време ще се срещнат?
Нека времето до срещата е \( t = x \) h (\( x > 0 \)).
Камионът изминава път \( S_1 = 60x \), а колата – \( S_2 = 90x \).
Уравнение за общия път: \[ 60x + 90x = 120 \] \[ 150x = 120 \Rightarrow x = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} \text{ h} \] Превръщаме в минути: \( \frac{4}{5} \cdot 60 = 48 \text{ min} \).
Отговор: Ще се срещнат след 48 минути.
Камионът изминава път \( S_1 = 60x \), а колата – \( S_2 = 90x \).
Уравнение за общия път: \[ 60x + 90x = 120 \] \[ 150x = 120 \Rightarrow x = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} \text{ h} \] Превръщаме в минути: \( \frac{4}{5} \cdot 60 = 48 \text{ min} \).
Отговор: Ще се срещнат след 48 минути.
Практически задачи
Задача 1 (Лесна): Разложете на множители многочлена \( A = 5x^2 - 20 \).
Първо изнасяме общия множител 5 пред скоби:
\[ A = 5(x^2 - 4) \]
Прилагаме формулата за разлика на квадрати \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):
\[ A = 5(x - 2)(x + 2) \]
Задача 2 (Средна): Намерете корените на уравнението \( (x - 2)^2 - (x + 1)(x - 1) = 2x - 7 \).
Прилагаме формулите за съкратено умножение:
\[ (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 1) = 2x - 7 \]
Разкриваме скобите:
\[ x^2 - 4x + 4 - x^2 + 1 = 2x - 7 \]
\[ -4x + 5 = 2x - 7 \]
Прехвърляме членовете с \( x \) отляво, а свободните членове отдясно:
\[ -4x - 2x = -7 - 5 \]
\[ -6x = -12 \]
\[ x = 2 \]
Отговор: \( x = 2 \).
Задача 3 (Средна): Решете уравнението \( |x^2 - 5x| = 6 \).
Уравнението се разпада на два случая:
Случай 1: \[ x^2 - 5x = 6 \Rightarrow x^2 - 5x - 6 = 0 \] Разлагаме чрез разделяне на средния член: \[ x^2 - 6x + x - 6 = 0 \Rightarrow x(x - 6) + 1(x - 6) = 0 \Rightarrow (x - 6)(x + 1) = 0 \] Оттук получаваме корени \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -1 \).
Случай 2: \[ x^2 - 5x = -6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \] Разлагаме лявата страна: \[ x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \] Оттук получаваме корени \( x_3 = 2 \) и \( x_4 = 3 \).
Отговор: Корените са \( x \in \{-1; 2; 3; 6\} \).
Случай 1: \[ x^2 - 5x = 6 \Rightarrow x^2 - 5x - 6 = 0 \] Разлагаме чрез разделяне на средния член: \[ x^2 - 6x + x - 6 = 0 \Rightarrow x(x - 6) + 1(x - 6) = 0 \Rightarrow (x - 6)(x + 1) = 0 \] Оттук получаваме корени \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -1 \).
Случай 2: \[ x^2 - 5x = -6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \] Разлагаме лявата страна: \[ x^2 - 2x - 3x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0 \] Оттук получаваме корени \( x_3 = 2 \) и \( x_4 = 3 \).
Отговор: Корените са \( x \in \{-1; 2; 3; 6\} \).
Задача 4 (Трудна): Моторна лодка изминава разстоянието между две пристанища по течението на река за 3 часа, а обратно срещу течението – за 5 часа. Намерете скоростта на лодката в спокойна вода, ако скоростта на течението на реката е 3 km/h.
Нека скоростта на лодката в спокойна вода е \( v_{\text{сп.}} = x \) km/h (\( x > 3 \)).
1. Скорост по течението: \( v_1 = x + 3 \) km/h, време \( t_1 = 3 \) h.
Пътят по течението е \( S_1 = 3(x + 3) \) km.
2. Скорост срещу течението: \( v_2 = x - 3 \) km/h, време \( t_2 = 5 \) h.
Пътят срещу течението е \( S_2 = 5(x - 3) \) km.
3. Тъй като разстоянието между пристанищата в двете посоки е еднакво (\( S_1 = S_2 \)): \[ 3(x + 3) = 5(x - 3) \] \[ 3x + 9 = 5x - 15 \] \[ -2x = -24 \] \[ x = 12 \] Стойността \( 12 > 3 \) е от допустимите стойности.
Отговор: Скоростта на лодката в спокойна вода е 12 km/h.
1. Скорост по течението: \( v_1 = x + 3 \) km/h, време \( t_1 = 3 \) h.
Пътят по течението е \( S_1 = 3(x + 3) \) km.
2. Скорост срещу течението: \( v_2 = x - 3 \) km/h, време \( t_2 = 5 \) h.
Пътят срещу течението е \( S_2 = 5(x - 3) \) km.
3. Тъй като разстоянието между пристанищата в двете посоки е еднакво (\( S_1 = S_2 \)): \[ 3(x + 3) = 5(x - 3) \] \[ 3x + 9 = 5x - 15 \] \[ -2x = -24 \] \[ x = 12 \] Стойността \( 12 > 3 \) е от допустимите стойности.
Отговор: Скоростта на лодката в спокойна вода е 12 km/h.
