78. Симетрала На Отсечка. Построяване На Симетрала На Дадена Отсечка

Въвеждане на означения чрез даденото отношение

От условието \( \angle CAB : \angle ABC = 3 : 4 \), можем да означим мерките на ъглите чрез обща мярка \( x \). Нека: \[ \angle CAB = 3x \] \[ \angle ABC = 4x \]

Използване на свойството на симетралата

Точка \( Q \) лежи на симетралата \( s_{AB} \) на страната \( AB \). По определение, всяка точка от симетралата на една отсечка е на равни разстояния от нейните краища. Следователно \( AQ = BQ \). Това означава, че \( \triangle ABQ \) е равнобедрен с основа \( AB \). Оттук следва, че ъглите при основата му са равни: \[ \angle ABQ = \angle BAQ = 3x \]

Намиране на стойността на \( x \)

Дадено е, че \( BQ \perp AC \), което означава, че \( \angle AQB = 90^\circ \). Разглеждаме сбора на ъглите в \( \triangle ABQ \): \[ \angle ABQ + \angle BAQ + \angle AQB = 180^\circ \] Заместваме с \( x \): \[ 3x + 3x + 90^\circ = 180^\circ \] \[ 6x = 180^\circ - 90^\circ \] \[ 6x = 90^\circ \] \[ x = 90^\circ : 6 \] \[ x = 15^\circ \]

Изчисляване на ъглите на \( \triangle ABC \)

Сега можем да намерим търсените ъгли: 1. Ъгъл \( A \): \[ \angle A = 3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ \] 2. Ъгъл \( B \): \[ \angle B = 4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ \] 3. Ъгъл \( C \): Използваме теоремата за сбор на ъглите в \( \triangle ABC \): \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \] \[ \angle C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) \] \[ \angle C = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \] Ключовият момент в задачата е свързването на свойството на симетралата (равнобедрен триъгълник) с перпендикулярността, което ни позволява да съставим уравнение за \( x \).

\( \angle A=3x, \angle B=4x \). \( Q \in s_{AB} \Rightarrow AQ=BQ \Rightarrow \angle ABQ=\angle A=3x \). \( BQ \perp AC \Rightarrow \angle AQB=90^\circ \). В \( \triangle ABQ \): \( 3x+3x+90^\circ=180^\circ \Rightarrow 6x=90^\circ \Rightarrow x=15^\circ \). \( \angle A = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ \). \( \angle B = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ \). \( \angle C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 75^\circ \).