Дадено: $ \triangle ABC \cong \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ $ AM $ и $ A_{1}M_{1} $ – медиани Да се докаже: $ AM = A_{1}M_{1} $ Доказателство:

Използване на свойствата на еднаквите триъгълници По условие триъгълниците $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ са еднакви. От дефиницията за еднаквост следва, че всички техни съответни страни и ъгли са равни. За целите на нашето доказателство ще използваме равенството на следните елементи: \[ AB = A_1B_1 \] \[ BC = B_1C_1 \] \[ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 \] (или за краткост $ \angle B = \angle B_1 $) Анализ на медианите Медианите $ AM $ и $ A_1M_1 $ разделят страните \( BC...

Първи Признак За Еднаквост На Триъгълници

72. Първи Признак За Еднаквост На Триъгълници

Най-важното от урока

Първи признак (SAS): Два триъгълника са еднакви ($\cong$), ако имат по две съответно равни страни и равен ъгъл между тях.
Пример: Ако в $\triangle ABC$ и $\triangle MNP$ имаме $AB=MN$, $BC=NP$ и $\angle B = \angle N$, то $\triangle ABC \cong \triangle MNP$.
Ключови стъпки при доказване: Търсете равни елементи по условие, общи страни или връхни ъгли.
Последствие: Щом докажете, че два триъгълника са еднакви, може да твърдите, че и останалите им съответни страни и ъгли са равни.

Два триъгълника са еднакви, ако две страни и ъгълът, заключен между тях, от единия триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла между тях от другия триъгълник.

${Два триъгълника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Маркирани са равенствата: страната $AB$ е равна на $A_1B_1$, страната $AC$ е равна на $A_1C_1$, и ъгълът $\angle BAC$ между тях е равен на $\angle B_1A_1C_1$. Показана е и стрелка, сочеща към извода $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.}$

Ако $\begin{cases} AB = A_1B_1 \\ AC = A_1C_1 \\ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 \end{cases}$, то $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

На чертежа са дадени $\triangle ABC$ и $\triangle NMP$. {Два правоъгълни триъгълника ABC и NMP. Катетът AB е маркиран като равен на катета MN. Катетът BC е маркиран като равен на катета MP. Ъглите при върховете B и M са отбелязани като прави.}

{Два правоъгълни триъгълника ABC и NMP. Катетът AB е маркиран като равен на катета MN. Катетът BC е маркиран като равен на катета MP. Ъглите при върховете B и M са отбелязани като прави.}

Имаме:

$AB = MN$ (дадено)
$BC = MP$ (дадено)
$\angle ABC = \angle NMP = 90^\circ$ (дадено)

Тъй като имаме две страни и ъгъл между тях, следва, че $\triangle ABC \cong \triangle NMP$ по I признак.

Дадени са $\triangle PQR$ и $\triangle STU$. Ако $PQ = ST = 8\mathrm{~cm}$ , $QR = TU = 6\mathrm{~cm}$ и $\angle PQR = \angle STU = 45^\circ$, еднакви ли са триъгълниците?

Да, $\triangle PQR \cong \triangle STU$ по I признак, защото са изпълнени условията: две съответно равни страни ($PQ=ST$ и $QR=TU$) и равен ъгъл между тях ($\angle Q = \angle T$).

Определете двата триъгълника, чиято еднаквост ще доказвате.

Намерете две двойки съответно равни страни.

Проверете дали ъгълът, заключен между първата двойка страни, е равен на ъгъла, заключен между втората двойка страни.

Направете извод, като се позовете на I признак.

При търсене на равни елементи, обърнете внимание на:

Общи страни: Една отсечка може да е страна и за двата триъгълника.
Връхни ъгли: Ако двата триъгълника имат общ връх, образуван от пресичащи се отсечки, връхните ъгли са равни.

В $\triangle ABC$, височината $CH$ разделя основата $AB$ на две равни части ($AH = BH$). Да се докаже, че $\triangle AHC \cong \triangle BHC$.

Разглеждаме $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$:

$AH = BH$ (по условие)
$CH = CH$ (обща страна)
$\angle AHC = \angle BHC = 90^\circ$ ($CH$ е височина)

Следователно $\triangle AHC \cong \triangle BHC$ (по I признак).

Отсечките $AB$ и $CD$ се пресичат в точка $O$ така, че $AO=BO$ и $CO=DO$. Докажете, че $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Разглеждаме $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$:

$AO = BO$ (по условие)
$CO = DO$ (по условие)
$\angle AOC = \angle BOD$ (като връхни ъгли)

Следователно $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ (по I признак).

Задачи за упражнение

Лесна: В $\triangle LMN$, $MK$ е ъглополовяща на $\angle LMN$. Ако $LM = NM$, докажете, че $\triangle LMK \cong \triangle NMK$.

Разглеждаме $\triangle LMK$ и $\triangle NMK$:

$LM = NM$ (по условие)
$\angle LMK = \angle NMK$ ($MK$ е ъглополовяща)
$MK = MK$ (обща страна)

От I признак следва, че $\triangle LMK \cong \triangle NMK$.

Средна: Две отсечки $PQ$ и $RS$ се пресичат в точка $O$, която е среда на всяка от тях. Докажете, че $PR = QS$.

Първо доказваме, че $\triangle POR \cong \triangle QOS$:

$PO = QO$ ($O$ е среда на $PQ$)
$RO = SO$ ($O$ е среда на $RS$)
$\angle POR = \angle QOS$ (връхни ъгли)

Следователно $\triangle POR \cong \triangle QOS$ (по I признак). От еднаквостта на триъгълниците следва, че съответните им елементи са равни, т.е. $PR = QS$.

Трудна: Даден е равнобедрен $\triangle ABC$ с основа $AB$. Върху бедрата $AC$ и $BC$ са взети съответно точки $P$ и $Q$ така, че $AP = BQ$. Докажете, че $\triangle ABQ \cong \triangle BAP$.

Разглеждаме $\triangle ABQ$ и $\triangle BAP$:

$AB = BA$ (обща страна).
$\angle ABQ = \angle BAP$ (това са ъглите при основата на равнобедрения $\triangle ABC$, т.е. $\angle CBA = \angle CAB$).
$AP = BQ$ (по условие)
Значи сравняваме $AB \leftrightarrow BA$, $AP \leftrightarrow BQ$, и ъгъла между тях $\angle PAB \leftrightarrow \angle QBA$. Да, това са правилните елементи.

Следователно $\triangle BAP \cong \triangle ABQ$ по I признак.

72. Първи Признак За Еднаквост На Триъгълници

Избери решение на задача:

Използване на свойствата на еднаквите триъгълници

Анализ на медианите

Доказване на еднаквост на помощна двойка триъгълници

Заключение

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Използване на свойствата на еднаквите триъгълници

Анализ на медианите

Доказване на еднаквост на помощна двойка триъгълници

Заключение

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: