Най-важното от урока
Разчитане на диаграми: Открийте връзката между данните (напр. \(2x, 5x\)) и използвайте дадената обща стойност, за да намерите \(x\).
Изчисления: След като намерите стойността на променливата, изчислете конкретния брой за всяка категория.
Централен ъгъл: За да намерите ъгъла за дадена категория, използвайте формулата \( \text{Ъгъл} = (\text{част} / \text{цяло}) \cdot 360^\circ \).
Например, ако \(30\) от \(120\) артикула са тип А, ъгълът е \( (30/120) \cdot 360^\circ = 90^\circ \).
Вероятност: За да намерите вероятност, разделете броя на желаните резултати на общия брой резултати.
Например, вероятността да изберете артикул тип А е \( P = \frac{30}{120}= \frac{1}{4} \).
Изчисления: След като намерите стойността на променливата, изчислете конкретния брой за всяка категория.
Централен ъгъл: За да намерите ъгъла за дадена категория, използвайте формулата \( \text{Ъгъл} = (\text{част} / \text{цяло}) \cdot 360^\circ \).
Например, ако \(30\) от \(120\) артикула са тип А, ъгълът е \( (30/120) \cdot 360^\circ = 90^\circ \).
Вероятност: За да намерите вероятност, разделете броя на желаните резултати на общия брой резултати.
Например, вероятността да изберете артикул тип А е \( P = \frac{30}{120}= \frac{1}{4} \).
Стълбовидните диаграми представят данни чрез правоъгълни стълбове с височини, пропорционални на стойностите, които представляват. Често височините са изразени чрез променлива (например \(m\) или \(x\)), която трябва да се намери, като се използва дадена в условието обща сума.
В партида има \(90\) изделия от различно качество. Намерете броя на елементите от качество I.
Ако общият брой изделия е \(90\), можем да съставим уравнение, за да намерим \(m\):
\[ 6m + 5m + 4m = 90 \]
\[ 15m = 90 \implies m = 6 \]
Следователно, броят на изделията от I качество е \(6 \cdot 6 = 36\).
Една диаграма показва броя на продадените сокове: ябълка (\(2x\)), портокал (\(5x\)) и череша (\(3x\)). Ако са продадени общо \(200\) сока, колко са продадените сокове от портокал?
Съставяме уравнение: \(2x + 5x + 3x = 200 \implies 10x = 200 \implies x = 20\).
Брой сокове от портокал: \(5x = 5 \cdot 20 = 100\).
Отговор: \(100\) сока.
Брой сокове от портокал: \(5x = 5 \cdot 20 = 100\).
Отговор: \(100\) сока.
Кръговите диаграми показват частите на едно цяло. Данните могат да бъдат представени като проценти (%) или като съотношение на централните ъгли. Цялата диаграма отговаря на 100% или 360°.
На кръговата диаграма е представен процентният дял на броя произведени велосипеди за една година от една фирма по тримесечия. Произведените велосипеди през II тримесечие са с 3 000 по-малко от тези през III тримесечие. Намерете:
Броя на всички велосипеди, произведени през годината;
Ако разликата в производството между II (30%) и III (20%) тримесечие е \(3000\) велосипеда, то тази разлика отговаря на \(30\% - 20\% = 10\%\).
Нека общият брой е \(k\). Тогава \(0.10k = 3000 \implies k = 30\,000\) велосипеда общо.
В кръгова диаграма, представяща предпочитания за домашни любимци, сектор "Котки" е \(40\%\). Ако общо са анкетирани \(150\) души, колко от тях предпочитат котки?
Изчисляваме \(40\%\) от \(150\): \(0.40 \cdot 150 = 60\).
Отговор: \(60\) души.
Отговор: \(60\) души.
Централният ъгъл на сектор в кръгова диаграма е пропорционален на частта от общото, която той представя.
\[ \text{Централен ъгъл} = \frac{\text{Частта}}{\text{Цялото}} \cdot 360^\circ \]
В сервиз са сменени \(200\) гуми, от които \(40\) са \(16\)-цолови. Централният ъгъл, съответстващ на \(16\)-цоловите гуми, е:
\[ \frac{40}{200} \cdot 360^\circ = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ \]
В един клас има \(25\) ученици. От тях \(5\) са отличници. Какъв ще бъде централният ъгъл на сектора "Отличници" в кръгова диаграма, представяща успеха в класа?
\[ \text{Ъгъл} = \frac{5}{25} \cdot 360^\circ = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ \]
Отговор: \(72^\circ\).
Вероятността едно случайно събитие да настъпи се изчислява като отношението на броя на благоприятните изходи към общия брой на всички възможни изходи.
\[ P = \frac{\text{Брой благоприятни случаи}}{\text{Общ брой на всички случаи}} \]
От партида с \(90\) изделия, \(24\) са III качество. Вероятността случайно избрано изделие да е III качество е:
\[ P(\text{III качество}) = \frac{24}{90} = \frac{4}{15} \]
В кутия има \(7\) червени и \(3\) сини топки. Каква е вероятността при случайно избиране да изтеглите синя топка?
Общият брой топки е \(7 + 3 = 10\). Благоприятните случаи (синя топка) са \(3\).
\[ P(\text{синя топка}) = \frac{3}{10} \]
Отговор: \(d\frac{3}{10}\).
Задачи за упражнение
Лесна: От общо \(1200\) произведени ризи , \(560\) са от Модел Б. Каква е вероятността случайно избрана риза да е от Модел Б?
Използваме формулата за вероятност:
\[ P(\text{Модел Б}) = \frac{\text{Брой ризи Модел Б}}{\text{Общ брой ризи}} = \frac{560}{1200} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15} \] Отговор: Вероятността е \(\dfrac{7}{15}\).
Средна: В жилищен блок има общо \(120\) апартамента, от които \(24\) са четиристанни, \(36\) са тристайни, а останалите са двустайни . Колко струва топлоизолацията само на двустайните апартаменти, ако цената за един такъв е \(3400\) лв?
1. Намираме броя на двустайните апартаменти:
\[ 120 - (24 + 36) = 120 - 60 = 60 \text{ двустайни апартамента} \]
2. Изчисляваме общата цена топлоизолацията им:
\[ 60 \text{ ап.} \cdot 3400 \text{ лв./ап.} = 204000 \text{ лв.} \]
Отговор: \(204\, 000\) лв.
Трудна: За производството на ризи е известно, че размерите се разпределят според ъглите: S \((36^\circ)\), M \((144^\circ)\), L \((72^\circ)\), XL \((108^\circ)\). Колко ризи от общо \(1200\) са с размер M и каква е вероятността случайно избрана риза да НЕ е с размер M?
1. Намираме броя ризи с размер М:
\[ \text{Брой ризи М} = \frac{\text{Ъгъл на сектор М}}{360^\circ} \cdot \text{Общ брой ризи}=\]\[ = \frac{144^\circ}{360^\circ} \cdot 1200 = \frac{2}{5} \cdot 1200 = 480 \text{ ризи} \]
2. Намираме броя на ризите, които НЕ са с размер М:
\[ 1200 - 480 = 720 \text{ ризи} \]
3. Изчисляваме вероятността случайно избрана риза да НЕ е с размер М:
\[ P(\text{не е М}) = \frac{720}{1200} = \frac{72}{120} = \frac{3}{5} \]
Отговор: 480 ризи са с размер М, а вероятността да се избере риза, която не е с размер М, е \(\frac{3}{5}\).
