Най-важното от урока
Основна формула: Винаги помни \(A = N \cdot t\) (Работа = Норма × Време).
Съставяне на таблица: Организирай данните в таблица със стълбове \(A\), \(N\), \(t\) и редове "По план", "В действителност".
Намиране на уравнение: Търси величина, която е еднаква и в двата случая (често това е работата \(A\)), или изрази разликата между план и действителност.
Избор на \(x\): Помисли добре кое да е неизвестното. Често изборът на времето (\(t\)) за \(x\) води до по-лесно уравнение.
Съставяне на таблица: Организирай данните в таблица със стълбове \(A\), \(N\), \(t\) и редове "По план", "В действителност".
Намиране на уравнение: Търси величина, която е еднаква и в двата случая (често това е работата \(A\)), или изрази разликата между план и действителност.
Избор на \(x\): Помисли добре кое да е неизвестното. Често изборът на времето (\(t\)) за \(x\) води до по-лесно уравнение.
Всяка задача от работа се решава с помощта на зависимостта между работа, норма (производителност) и време.
\[ A = N \cdot t \]
Където:
\(A\) е общото количество свършена работа (напр. брой детайли, декари).
\(N\) е нормата (производителността) – работата, свършена за единица време (напр. детайли/час, дка/ден).
\(t\) е времето, за което е свършена работата.
\(A\) е общото количество свършена работа (напр. брой детайли, декари).
\(N\) е нормата (производителността) – работата, свършена за единица време (напр. детайли/час, дка/ден).
\(t\) е времето, за което е свършена работата.
От основната формула можем да изразим нормата и времето:
\[ N = \frac{A}{t} \quad \text{и} \quad t = \frac{A}{N} \]
Една машина произвежда по 15 детайла на час (\(N=15\)). За 8 часа (\(t=8\)) тя ще произведе:
\[ A = 15 \cdot 8 = 120 \text{ детайла} \]
Стругар трябва да изработи 90 детайла (\(A=90\)). Ако работи с норма 18 детайла на час (\(N=18\)), за колко време ще изпълни задачата?
Използваме формулата \(t = \frac{A}{N}\).
\[ t = \frac{90}{18} = 5 \text{ часа} \]
Повечето задачи сравняват планираното изпълнение с действителното. Ключът е да се състави таблица и да се намери зависимост (равенство) между работата, нормата или времето в двата сценария.
Ако действително свършената работа \(A_{действ.}\) е с \(a\) единици повече от планираната \(A_{план}\), можем да запишем уравнението по три начина:
- \(A_{план} + a = A_{действ.}\)
- \(A_{действ.} - a = A_{план}\)
- \(A_{действ.} - A_{план} = a\)
Конвейер трябвало да сглоби \(24x\) автомобила, но сглобил \(22(x+5)\), които са с 80 повече.
Зависимостта е \(A_{действ.} = A_{план} + 80\), което води до уравнението:
\[ 22(x+5) = 24x + 80 \]
Бригада е трябвало да окоси \(A_{план}\) декара. Те са окосили с 15 дка повече от планираното. Напишете уравнение, свързващо \(A_{план}\) и \(A_{действ.}\).
\(A_{действ.} = A_{план} + 15\)
При решаване на задачи от работа, изборът на неизвестното \(x\) е от решаващо значение. Обикновено \(x\) може да бъде работата \(A\), нормата \(N\) или времето \(t\).
Често, ако изберем времето (\(t\)) за неизвестно, се получават по-лесни уравнения без знаменатели.
За да изрови един блок в определен срок, тракторист трябвало да обработва по 90 дка на ден. Трактористът изровил по 105 дка на ден и затова 1 ден преди срока му останали само 15 дка. Колко декара е бил блокът?
Задачата има два начина за решаване:
I начин (x = работа): Неизвестно е \(A = x\) (дка). Свързваме времената.
Уравнението \(\frac{x}{90} = \frac{x-15}{105} + 1\) е дробно.
II начин (x = време): Неизвестно е \(t = x\) (дни). Свързваме работата.
Уравнението \(105(x-1) = 90x - 15\) е цяло и по-лесно за решаване.
I начин (x = работа): Неизвестно е \(A = x\) (дка). Свързваме времената.
II начин (x = време): Неизвестно е \(t = x\) (дни). Свързваме работата.
Задачата е: "Работник увеличил нормата си с 20% и свършил поръчката 1 час по-рано." Кое бихте избрали за \(x\) - броя на детайлите (\(A\)) или времето по план (\(t\))?
По-добре е да изберем времето по план (\(t\)) за \(x\). Така уравнението ще сравнява работата, която е еднаква и в двата случая, и вероятно ще избегнем дроби.
Задачи за упражнение
Лесна: Помпа източва по 50 литра вода в минута. За колко минути ще източи басейн с обем 3000 литра?
Дадено е: \(N = 50\) л/мин, \(A = 3000\) л. Търсим \(t\).
\(t = \frac{A}{N} = \frac{3000}{50} = 60\) минути (или 1 час).
\(t = \frac{A}{N} = \frac{3000}{50} = 60\) минути (или 1 час).
Средна: За да изпълни една поръчка в срок, шивач трябвало да ушие по 12 ризи на ден. Той обаче шиел по 15 ризи на ден и приключил 2 дни преди срока. Колко ризи е съдържала поръчката?
Нека \(x\) е броят дни по план.
Работата по план е \(A_{план} = 12x\).
Действителното време е \(t_{действ.} = x - 2\).
Действително свършената работа е \(A_{действ.} = 15(x - 2)\).
Работата е една и съща: \(A_{план} = A_{действ.}\).
\(12x = 15(x - 2)\)
\(12x = 15x - 30\)
\(3x = 30 \implies x = 10\) дни по план.
Поръчката е: \(A = 12 \cdot 10 = 120\) ризи.
Работата по план е \(A_{план} = 12x\).
Действителното време е \(t_{действ.} = x - 2\).
Действително свършената работа е \(A_{действ.} = 15(x - 2)\).
Работата е една и съща: \(A_{план} = A_{действ.}\).
\(12x = 15(x - 2)\)
\(12x = 15x - 30\)
\(3x = 30 \implies x = 10\) дни по план.
Поръчката е: \(A = 12 \cdot 10 = 120\) ризи.
Трудна: Един басейн се пълни от една тръба за 6 часа, а от друга - за 4 часа. За колко време ще се напълни басейнът, ако двете тръби работят едновременно? (Упътване: Приемете цялата работа \(A=1\))
Приемаме, че целият басейн е \(A = 1\).
Нормата на първата тръба е \(N_1 = \frac{A}{t_1} = \frac{1}{6}\) от басейна на час.
Нормата на втората тръба е \(N_2 = \frac{A}{t_2} = \frac{1}{4}\) от басейна на час.
Когато работят заедно, нормите им се събират: \(N_{обща} = N_1 + N_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\) от басейна на час.
Времето за пълнене на целия басейн (\(A=1\)) е:
\(t_{общо} = \frac{A}{N_{обща}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2.4\) часа.
2.4 часа са 2 часа и \(0.4 \cdot 60 = 24\) минути.
Отговор: 2 часа и 24 минути.
Нормата на първата тръба е \(N_1 = \frac{A}{t_1} = \frac{1}{6}\) от басейна на час.
Нормата на втората тръба е \(N_2 = \frac{A}{t_2} = \frac{1}{4}\) от басейна на час.
Когато работят заедно, нормите им се събират: \(N_{обща} = N_1 + N_2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\) от басейна на час.
Времето за пълнене на целия басейн (\(A=1\)) е:
\(t_{общо} = \frac{A}{N_{обща}} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} = 2.4\) часа.
2.4 часа са 2 часа и \(0.4 \cdot 60 = 24\) минути.
Отговор: 2 часа и 24 минути.
