Дадено: $ABCD$ – четириъгълник $\angle ABD = \angle CBD$ $\angle ADB = \angle CDB$ Да се докаже: а) $\angle BAD = \angle BCD$ б) $BA = BC$ Доказателство:

Стъпка 1: Анализ на дадените данни За да докажем твърденията в задачата, трябва да разгледаме двата триъгълника, на които диагоналът $ BD $ разделя четириъгълника $ ABCD $. Това са $ \Delta ABD $ и $ \Delta BCD $. От условието знаем, че: $ \angle ABD = \angle CBD $ (отсечката $ BD $ е ъглополовяща на $ \angle ABC $) $ \angle ADB = \angle CDB $ (отсечката $ BD $ е ъглополовяща на $ \angle ADC $) Стъпка 2: Доказване на еднаквост на триъгълниците Ще използваме Втори признак з...

Втори Признак За Еднаквост На Триъгълници

74. Втори Признак За Еднаквост На Триъгълници

Най-важното от урока

Втори признак за еднаквост : Триъгълниците са еднакви, ако имат съответно равни: страна и двата ъгъла, които са прилежащи към нея.
Практически стъпки: За да докажете, че $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по II признак, намерете например $ AB=A_1B_1 $, $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $.
Полезни свойства: Често се използват връхни ъгли, кръстни ъгли (при успоредни прави) или обща страна, за да се намерят нужните равни елементи.
Ключово следствие: От $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ следва, че и всички останали съответни елементи са равни ($ AC = A_1C_1, BC = B_1C_1, \angle C = \angle C_1 $) и лицата им са равни ($ S_{ABC}=S_{A_1B_1C_1} $).

Два триъгълника са еднакви, ако страна и двата прилежащи ѝ ъгъла от единия триъгълник са съответно равни на страна и двата прилежащи ѝ ъгъла от другия триъгълник.

Ако за $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ е дадено, че:

$ AB = A_1B_1 $ (страна)
$ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $ (прилежащ ъгъл)
$ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $ (прилежащ ъгъл)

Тогава можем да заключим, че $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по II признак.

Дадени са $ \triangle MNP $ и $ \triangle XYZ $, за които $ MN = XY = 7 \text{ cm} $, $ \angle M = \angle X = 50^\circ $ и $ \angle N = \angle Y = 60^\circ $. Еднакви ли са двата триъгълника?

Отговор: Да, триъгълниците са еднакви по II признак, защото имат съответно равна страна ($MN = XY$) и два прилежащи към нея ъгъла ($\angle M = \angle X$ и $\angle N = \angle Y$).

За да докажете еднаквост по II признак, трябва да намерите три двойки съответно равни елементи: една страна и двата ъгъла, прилежащи на нея. Често се налага да използвате свойства на ъгли (връхни, кръстни) или да откриете обща страна.

Задача: Дадени са пресичащи се в точка $О$ отсечки $AC$ и $BD$. Ако $ \angle DAO = \angle BCO $ и $О$ е среда на $AC$, докажете, че $ \triangle ADO \cong \triangle CBO $.
Решение: Разглеждаме $ \triangle ADO $ и $ \triangle CBO $:

$ \angle DAO = \angle BCO $ (по условие)
$ AO = CO $ (защото $О$ е среда на $AC$)
$ \angle AOD = \angle COB $ (като връхни ъгли)

Следователно $ \triangle ADO \cong \triangle CBO $ (по II признак).

{Диаграма, показваща два триъгълника, AOB и COD, образувани от пресичащи се прави в точка O. Отбелязани са равни страни OB и OD, и равни ъгли B и D.}

В показаните $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ е дадено, че $ OB = OD $ и $ \angle B = \angle D $. Докажете, че триъгълниците са еднакви.

Разглеждаме $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $:

$ \angle B = \angle D $ (по условие)
$ OB = OD $ (по условие)
$ \angle AOB = \angle COD $ (като връхни ъгли)

От II признак следва, че $ \triangle AOB \cong \triangle COD $.

Ако два триъгълника са еднакви, то техните лица са равни.

Ако сме доказали, че $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ и знаем, че лицето $ S_{ABC} = 25 \text{ cm}^2 $, то можем веднага да заключим, че $ S_{A_1B_1C_1} = 25 \text{ cm}^2 $.

Дадено е, че $ \triangle MNP \cong \triangle QRS $. Височината към страната MN е 5 cm, а дължината на MN е 8 cm. Намерете лицето на $ \triangle QRS $.

Първо намираме лицето на $ \triangle MNP $: \[ S_{MNP} = \frac{MN \cdot h_{MN}}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \text{ cm}^2 \] Тъй като триъгълниците са еднакви, лицата им са равни.
Отговор: $ S_{QRS} = 20 \text{ cm}^2 $.

Задачи за упражнение

Лесна: В $ \triangle ABC $ страната $ AB = 10 \text{ cm} $, $ \angle CAB = 40^\circ $ и $ \angle CBA = 60^\circ $. В $ \triangle PQR $ страната $ PQ = 10 \text{ cm} $, $ \angle RPQ = 40^\circ $ и $ \angle RQP = 60^\circ $. Еднакви ли са триъгълниците? На кой признак се основава отговорът ви?

Да, триъгълниците са еднакви. Имаме $ AB=PQ $, $ \angle CAB = \angle RPQ $ и $ \angle CBA = \angle RQP $. Налице са условията на II признак за еднаквост на триъгълници.

Средна: На чертежа $AD \perp AB$ и $BC \perp AB$. Ако точка M е среда на отсечката AB и $ \angle AMD = \angle BMC $, докажете, че $ \triangle ADM \cong \triangle BCM $.

Разглеждаме $ \triangle ADM $ и $ \triangle BCM $:

Трудна: В успоредника $ABCD$, диагоналът $AC$ е ъглополовяща на $ \angle DAB $. Докажете, че $AC$ е ъглополовяща и на $ \angle DCB $.

Разглеждаме $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $.
1. Обща страна: Страната $ AC $ е обща за двата триъгълника.
2. Равни ъгли (по условие): Тъй като $AC$ е ъглополовяща на $ \angle DAB $, то $ \angle BAC = \angle DAC $
3. Равни ъгли (кръстни ъгли): $ABCD$ е успоредник. Следователно: $ \angle BAC = \angle DCA $ (като кръстни ъгли при $ AB \parallel DC $) и $ \angle BCA = \angle DAC $ (като кръстни ъгли при $ BC \parallel AD $)
4. Еднаквост по II признак: Сега разполагаме с три двойки равни елементи за $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $:

$ AC = AC $ (обща страна)

$ \angle DAC = \angle BCA $

$ \angle DCA = \angle BAC $ ( Следователно, $ \triangle ADC \equiv \triangle CBA $ по II признак (страна и два прилежащи ъгъла).
5. Извод: От еднаквостта на триъгълниците $ \triangle ADC $ и $ \triangle CBA $ следва, че съответните им ъгли са равни. По-конкретно, ъглите при върха C са равни: $ \angle DCA = \angle BCA $

74. Втори Признак За Еднаквост На Триъгълници

Избери решение на задача:

Стъпка 1: Анализ на дадените данни

Стъпка 2: Доказване на еднаквост на триъгълниците

Стъпка 3: Доказване на подточка а)

Стъпка 4: Доказване на подточка б)

Кратък запис на решението:

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

Подробно решение

Стъпка 1: Анализ на дадените данни

Стъпка 2: Доказване на еднаквост на триъгълниците

Стъпка 3: Доказване на подточка а)

Стъпка 4: Доказване на подточка б)

Кратък запис на решението:

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: