Най-важното от урока
Основно правило: В триъгълник срещу по-голяма страна винаги лежи по-голям ъгъл, и обратно. Ако \(\angle A > \angle B\), то страната \(BC\) (срещу \(\angle A\)) е по-дълга от страната \(AC\) (срещу \(\angle B\)).
В правоъгълен триъгълник: Хипотенузата е винаги най-дългата страна, защото е срещу най-големия ъгъл (\(90^\circ\)).
Най-късо разстояние: Перпендикулярът от точка до права е най-късата отсечка, свързваща точката с правата.
В правоъгълен триъгълник: Хипотенузата е винаги най-дългата страна, защото е срещу най-големия ъгъл (\(90^\circ\)).
Най-късо разстояние: Перпендикулярът от точка до права е най-късата отсечка, свързваща точката с правата.
В един триъгълник, срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл, и обратно – срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.
Ако \(a, b\) са страни, а \(\alpha, \beta\) са ъглите срещу тях:
\[ a > b \Leftrightarrow \alpha > \beta \]
Това означава, че твърдението е вярно и в двете посоки.
Даден е \(\triangle ABC\) със страни \(AB=10\) cm, \(BC=7\) cm и \(AC=8\) cm. Тъй като страната \(AB\) е най-дълга, ъгълът срещу нея, \(\angle C\), е най-големият ъгъл в триъгълника.
В \(\triangle ABC\) са дадени \(\angle A = 50^\circ\) и \(\angle B = 75^\circ\). Коя от страните \(AC\) и \(BC\) е по-дълга?
Страната \(AC\) лежи срещу \(\angle B = 75^\circ\).
Страната \(BC\) лежи срещу \(\angle A = 50^\circ\).
Тъй като \(\angle B > \angle A\) (\(75^\circ > 50^\circ\)), то страната срещу \(\angle B\) е по-дълга от страната срещу \(\angle A\).
Отговор: \(AC > BC\).
Страната \(BC\) лежи срещу \(\angle A = 50^\circ\).
Тъй като \(\angle B > \angle A\) (\(75^\circ > 50^\circ\)), то страната срещу \(\angle B\) е по-дълга от страната срещу \(\angle A\).
Отговор: \(AC > BC\).
В правоъгълния триъгълник хипотенузата (страната срещу правия ъгъл) винаги е най-дългата страна.
Това е така, защото правият ъгъл (\(90^\circ\)) е най-големият ъгъл в правоъгълния триъгълник (другите два са остри).
В \(\triangle ABC\) с \(\angle C = 90^\circ\), страната \(AB\) е хипотенуза. Следователно \(AB > AC\) и \(AB > BC\).
Правоъгълен триъгълник има страни с дължини 5 cm, 12 cm и 13 cm. Коя страна е хипотенузата?
Хипотенузата е най-дългата страна.
Отговор: Страната с дължина 13 cm.
Отговор: Страната с дължина 13 cm.
Перпендикулярът, спуснат от точка към права, е по-къс от всяка друга отсечка (наклонена), свързваща точката с правата.
Ако от точка \(A\) извън права \(p\) са построени перпендикуляр \(AM\) и наклонена \(AN\) (където \(M, N \in p\)), то винаги е вярно, че \(AM < AN\).
От точка \(P\) към права \(m\) е спуснат перпендикуляр \(PH\) с дължина 8 cm. Може ли дължината на наклонена \(PK\) от същата точка \(P\) към правата \(m\) да бъде 7 cm?
Не, не може. Перпендикулярът е най-късото разстояние. Всяка наклонена трябва да бъде по-дълга от него. Следователно \(PK > PH\), т.е. \(PK > 8\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) са дадени \(\angle A = 80^\circ\) и \(\angle B = 40^\circ\). Подредете страните \(a, b, c\) по дължина, като започнете от най-малката. (Забележка: \(a=BC, b=AC, c=AB\)).
Първо намираме третия ъгъл: \(\angle C = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Подреждаме ъглите по големина: \(\angle B < \angle C < \angle A\) (\(40^\circ < 60^\circ < 80^\circ\)).
Срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна, затова същата подредба важи и за страните срещу тях.
Отговор: \(b < c < a\), или \(AC < AB < BC\).
Подреждаме ъглите по големина: \(\angle B < \angle C < \angle A\) (\(40^\circ < 60^\circ < 80^\circ\)).
Срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна, затова същата подредба важи и за страните срещу тях.
Отговор: \(b < c < a\), или \(AC < AB < BC\).
Средна: В равнобедрен \(\triangle ABC\) (\(AC = BC\)) ъгълът при върха \(\angle C\) е \(30^\circ\). Коя страна е по-голяма: основата (\(AB\)) или бедрото (\(AC\))?
Намираме ъглите при основата: \(\angle A = \angle B = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ\).
Сравняваме ъгъла срещу основата \(AB\) (\(\angle C = 30^\circ\)) с ъгъла срещу бедрото \(AC\) (\(\angle B = 75^\circ\)).
Тъй като \(\angle B > \angle C\) (\(75^\circ > 30^\circ\)), то страната срещу \(\angle B\) (бедрото \(AC\)) е по-голяма от страната срещу \(\angle C\) (основата \(AB\)).
Отговор: Бедрото е по-голямо от основата.
Сравняваме ъгъла срещу основата \(AB\) (\(\angle C = 30^\circ\)) с ъгъла срещу бедрото \(AC\) (\(\angle B = 75^\circ\)).
Тъй като \(\angle B > \angle C\) (\(75^\circ > 30^\circ\)), то страната срещу \(\angle B\) (бедрото \(AC\)) е по-голяма от страната срещу \(\angle C\) (основата \(AB\)).
Отговор: Бедрото е по-голямо от основата.
Трудна: Даден е \(\triangle ABC\). Външният ъгъл при върха \(B\) е \(130^\circ\), а вътрешният ъгъл при върха \(C\) е \(75^\circ\). Сравнете дължините на страните \(AB\) и \(BC\).
1. Намираме вътрешния \(\angle B\). Той е съседен на външния ъгъл: \(\angle B = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\).
2. Намираме \(\angle A\): \(\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).
3. Сравняваме страните \(AB\) и \(BC\).
- Страната \(AB\) лежи срещу \(\angle C = 75^\circ\).
- Страната \(BC\) лежи срещу \(\angle A = 55^\circ\).
Тъй като \(\angle C > \angle A\), то страната срещу \(\angle C\) е по-дълга.
Отговор: \(AB > BC\).
2. Намираме \(\angle A\): \(\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (50^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).
3. Сравняваме страните \(AB\) и \(BC\).
- Страната \(AB\) лежи срещу \(\angle C = 75^\circ\).
- Страната \(BC\) лежи срещу \(\angle A = 55^\circ\).
Тъй като \(\angle C > \angle A\), то страната срещу \(\angle C\) е по-дълга.
Отговор: \(AB > BC\).
