Най-важното от урока
Ключови изводи: Моделирането с уравнения е превод на текстова задача на математически език.
Стъпки: 1. Избери неизвестно (\(x\)); 2. Състави уравнение (модел); 3. Реши го; 4. Дай отговор с думи.
Практически примери за превод:
Стъпки: 1. Избери неизвестно (\(x\)); 2. Състави уравнение (модел); 3. Реши го; 4. Дай отговор с думи.
Практически примери за превод:
- "с 5 повече" \(\rightarrow\) \(x+5\)
- "3 пъти по-малко" \(\rightarrow\) \(\frac{x}{3}\)
- "увеличено с 10%" \(\rightarrow\) \(x + 0.10x = 1.1x\)
- "две последователни четни числа" \(\rightarrow\) \(2k\) и \(2k+2\)
Съставянето на уравнение по текстова задача се нарича математически модел. Това е процес на "превеждане" на условията на задачата от говорим език на езика на математиката (изрази и уравнения).
Твърдението "Намислих число, увеличих го с 3 и резултата умножих с 5" се моделира математически като \(5(x+3)\), където \(x\) е намисленото число.
Едно число е с 10 по-малко от друго. Сборът им е 50. Съставете математически модел (уравнение) на задачата, ако по-голямото число е \(x\).
По-малкото число е \(x - 10\).
Уравнението е: \(x + (x - 10) = 50\).
Уравнението е: \(x + (x - 10) = 50\).
Много често срещани фрази в текстовите задачи съответстват на определени математически операции и изрази.
- "Число, което е с 20% по-голямо от \(a\)" \(\rightarrow\) \(a + \frac{20}{100}a = 1.2a\)
- "Две последователни нечетни числа" \(\rightarrow\) \(2k-1\) и \(2k+1\)
- "Числото \(y\), разделено на 4, дава частно 9 и остатък 1" \(\rightarrow\) \(y = 4 \cdot 9 + 1\)
Напишете математически израз за "цената \(p\) е намалена с 15%".
Изразът е \(p - \frac{15}{100}p\) или \(0.85p\).
Решаването на текстови задачи чрез уравнения следва определен алгоритъм, който помага за структуриране на решението.
Определяме коя величина в задачата ще означим с неизвестно (най-често \(x\)). Често това е величината, която търсим.
Обмисляме какви стойности може да приема неизвестното (например, ако е дължина, трябва да е положително число; ако е брой хора, трябва да е естествено число).
Използваме зависимостите от условието, за да съставим уравнение, което свързва неизвестното с останалите данни.
Решаваме уравнението и проверяваме дали полученият корен принадлежи на допустимите стойности.
Формулираме отговора на задачата с думи.
Сборът на три последователни цели числа е 63. Кои са числата? Приложете стъпките, за да решите задачата.
1. Неизвестно: Нека първото число е \(x\). Тогава следващите са \(x+1\) и \(x+2\).
2. ДС: \(x\) е цяло число.
3. Уравнение: \(x + (x+1) + (x+2) = 63\).
4. Решение: \(3x + 3 = 63 \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20\). Решението е цяло число.
5. Отговор: Числата са 20, 21 и 22.
2. ДС: \(x\) е цяло число.
3. Уравнение: \(x + (x+1) + (x+2) = 63\).
4. Решение: \(3x + 3 = 63 \Rightarrow 3x = 60 \Rightarrow x = 20\). Решението е цяло число.
5. Отговор: Числата са 20, 21 и 22.
Задачи за упражнение
Лесна: Намислих число. Умножих го по 4 и към резултата прибавих 7. Получих 39. Кое число съм намислил?
Нека намисленото число е \(x\).
Уравнението е \(4x + 7 = 39\).
\(4x = 39 - 7\)
\(4x = 32\)
\(x = 8\)
Отговор: Намисленото число е 8.
Уравнението е \(4x + 7 = 39\).
\(4x = 39 - 7\)
\(4x = 32\)
\(x = 8\)
Отговор: Намисленото число е 8.
Средна: В един цветарски магазин продали \(\frac{2}{5}\) от наличните рози, а след това още 15 рози. Останали 30 рози. Колко рози е имало в началото?
Нека първоначалният брой рози е \(x\).
Продали са \(\frac{2}{5}x + 15\).
Останалите рози са \(x - (\frac{2}{5}x + 15)\).
Уравнението е: \(x - (\frac{2}{5}x + 15) = 30\).
\(x - \frac{2}{5}x - 15 = 30\)
\(\frac{3}{5}x = 45\)
\(x = \frac{45 \cdot 5}{3} = 15 \cdot 5 = 75\).
Отговор: В началото е имало 75 рози.
Продали са \(\frac{2}{5}x + 15\).
Останалите рози са \(x - (\frac{2}{5}x + 15)\).
Уравнението е: \(x - (\frac{2}{5}x + 15) = 30\).
\(x - \frac{2}{5}x - 15 = 30\)
\(\frac{3}{5}x = 45\)
\(x = \frac{45 \cdot 5}{3} = 15 \cdot 5 = 75\).
Отговор: В началото е имало 75 рози.
Трудна: Трудна: Цифрата на десетиците на едно двуцифрено число е 2 пъти по-голяма от цифрата на единиците. Ако от числото извадим 27, ще получим число, записано със същите цифри, но в обратен ред. Намерете числото.
Решение: Нека цифрата на единиците е \(x\). ДС: \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\).
Цифрата на десетиците е \(2x\).
Първоначалното число е \(10(2x) + x = 21x\).
Новото число (с разменени цифри) е \(10x + 2x = 12x\).
Уравнението: \(21x - 27 = 12x\).
\(9x = 27 \implies x = 3\). \(x=3\) е в ДС.
Цифра на единиците: 3. Цифра на десетиците: \(2 \cdot 3 = 6\).
Отговор: Числото е 63. (Проверка: \(63 - 27 = 36\). Вярно.)
Решение: Нека цифрата на единиците е \(x\). ДС: \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\).
Цифрата на десетиците е \(2x\).
Първоначалното число е \(10(2x) + x = 21x\).
Новото число (с разменени цифри) е \(10x + 2x = 12x\).
Уравнението: \(21x - 27 = 12x\).
\(9x = 27 \implies x = 3\). \(x=3\) е в ДС.
Цифра на единиците: 3. Цифра на десетиците: \(2 \cdot 3 = 6\).
Отговор: Числото е 63. (Проверка: \(63 - 27 = 36\). Вярно.)
