Най-важното от урока
Основни принципи:
1. Разчетете внимателно условието и означенията на чертежа.
2. Приложете основните теореми за сбора на ъглите.
3. Използвайте свойствата на дадените елементи (ъглополовящи, височини, успоредни прави), за да намерите допълнителни зависимости.
4. Разглеждайте по-малки триъгълници в рамките на основния, за да намерите неизвестни ъгли стъпка по стъпка.
- Винаги помнете, че сборът на ъглите в триъгълник е \(180^\circ\).
- Ъглополовящата дели ъгъл на две равни части (\(\frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}\)).
- Височината образува прав ъгъл със страната (\(90^\circ\)).
- При успоредни прави търсете равни кръстни или съответни ъгли.
1. Разчетете внимателно условието и означенията на чертежа.
2. Приложете основните теореми за сбора на ъглите.
3. Използвайте свойствата на дадените елементи (ъглополовящи, височини, успоредни прави), за да намерите допълнителни зависимости.
4. Разглеждайте по-малки триъгълници в рамките на основния, за да намерите неизвестни ъгли стъпка по стъпка.
Всеки външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки от двата несъседни вътрешни ъгли. Като следствие, ъгъл, образуван от вътрешна точка и два от върховете на триъгълника, е по-голям от ъгъла при третия връх.
В \(\triangle KLM\), външният ъгъл при върха \(M\) е \(130^\circ\). Възможно ли е вътрешният ъгъл при върха \(K\) да е \(140^\circ\)?
Отговор: Не, не е възможно. Външният ъгъл (\(130^\circ\)) трябва да бъде по-голям от всеки несъседен вътрешен ъгъл, а \(130^\circ < 140^\circ\).
Ако ъглите в триъгълник \(\alpha, \beta, \gamma\) са в съотношение \(a:b:c\), те се представят като \(\alpha=ax, \beta=bx, \gamma=cx\). Стойността на \(x\) се намира от уравнението \(ax + bx + cx = 180^\circ\).
Ако \(\alpha : \beta : \gamma = 5 : 6 : 7\), то \(\alpha=5x, \beta=6x, \gamma=7x\).
От \(5x + 6x + 7x = 180^\circ \Rightarrow 18x = 180^\circ \Rightarrow x=10^\circ\).
Ъглите са: \(\alpha=50^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=70^\circ\).
От \(5x + 6x + 7x = 180^\circ \Rightarrow 18x = 180^\circ \Rightarrow x=10^\circ\).
Ъглите са: \(\alpha=50^\circ, \beta=60^\circ, \gamma=70^\circ\).
Ъглите на триъгълник са в съотношение \(1:2:3\). Намерете големината на най-големия ъгъл.
Нека ъглите са \(x, 2x, 3x\).
\(x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x=30^\circ\).
Най-големият ъгъл е \(3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\).
\(x + 2x + 3x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x=30^\circ\).
Най-големият ъгъл е \(3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ\).
Когато ъглополовяща пресича отсечка, успоредна на едно от раменете на ъгъла, се образуват равни кръстни ъгли, което често води до образуването на равнобедрен триъгълник.
От \(CL\) - ъглополовяща \(\Rightarrow \angle QCL = \angle LCB\).
От \(LQ \parallel BC\) и секуща \(CL \Rightarrow \angle QLC = \angle LCB\) (кръстни ъгли).
От двете равенства следва, че \(\angle QCL = \angle QLC\), т.е. \(\triangle QLC\) е равнобедрен.
В \(\triangle ABC\), \(AL\) е ъглополовяща на \(\angle A\). През точка \(L\) е построена права \(LM \parallel AC\) (\(M \in AB\)). Ако \(\angle CAL = 35^\circ\), намерете \(\angle MLA\).
Тъй като \(LM \parallel AC\) и \(AL\) е тяхна секуща, то кръстните ъгли са равни: \(\angle MLA = \angle CAL = 35^\circ\).
Ъгълът между височината (\(CH\)) и ъглополовящата (\(CL\)), спуснати от един и същи връх, може да се намери, като се изразят ъглите \(\angle ACH\) (от \(\triangle AHC\)) и \(\angle ACL\) (от \(\angle C\)) и се намери тяхната разлика.
1. Намираме \(\angle ACL = \frac{\angle C}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\).
2. В правоъгълния \(\triangle AHC\), \(\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\).
3. \(\angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ\).
В \(\triangle ABC\), \(CH\) е височина, а \(CL\) е ъглополовяща. Ако \(\angle A = 50^\circ\) и \(\angle B = 30^\circ\), намерете \(\angle HCL\).
1. \(\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 30^\circ) = 100^\circ\).
2. \(\angle ACL = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\).
3. В \(\triangle AHC\), \(\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
4. \(\angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ\).
2. \(\angle ACL = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\).
3. В \(\triangle AHC\), \(\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
4. \(\angle HCL = \angle ACL - \angle ACH = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ\).
Задачи за упражнение
Лесна: Ъглите на триъгълник се отнасят както \(2:3:5\). Намерете големината на всеки ъгъл.
Нека ъглите са \(2x, 3x, 5x\).
\(2x + 3x + 5x = 180^\circ \Rightarrow 10x = 180^\circ \Rightarrow x = 18^\circ\).
Ъглите са: \(2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\), \(3 \cdot 18^\circ = 54^\circ\), \(5 \cdot 18^\circ = 90^\circ\).
\(2x + 3x + 5x = 180^\circ \Rightarrow 10x = 180^\circ \Rightarrow x = 18^\circ\).
Ъглите са: \(2 \cdot 18^\circ = 36^\circ\), \(3 \cdot 18^\circ = 54^\circ\), \(5 \cdot 18^\circ = 90^\circ\).
Средна: В \(\triangle ABC\), ъглополовящите на \(\angle A\) и \(\angle C\) се пресичат в точка O. Ако \(\angle B = 80^\circ\), намерете \(\angle AOC\).
От \(\triangle ABC\), \(\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\).
В \(\triangle AOC\), ъглите са \(\angle OAC = \frac{\angle A}{2}\) и \(\angle OCA = \frac{\angle C}{2}\).
\(\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2}\right)\).
\(\angle AOC = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2} = 180^\circ - \frac{100^\circ}{2} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
В \(\triangle AOC\), ъглите са \(\angle OAC = \frac{\angle A}{2}\) и \(\angle OCA = \frac{\angle C}{2}\).
\(\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2}\right)\).
\(\angle AOC = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2} = 180^\circ - \frac{100^\circ}{2} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
Трудна: В \(\triangle ABC\) (\(\angle A < \angle B\)), ъглополовящата \(CL\) и височината \(CH\) към страната \(AB\) образуват ъгъл \(\angle HCL = 12^\circ\). Ако \(\angle B = 65^\circ\), намерете \(\angle A\) и \(\angle C\).
В правоъгълния \(\triangle BHC\), \(\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ\).
От чертежа се вижда, че \(\angle BCL = \angle BCH + \angle HCL = 25^\circ + 12^\circ = 37^\circ\).
Тъй като \(CL\) е ъглополовяща на \(\angle C\), то \(\angle C = 2 \cdot \angle BCL = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ\).
Накрая, \(\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (65^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 139^\circ = 41^\circ\).
Отговор: \(\angle A = 41^\circ\), \(\angle C = 74^\circ\).
От чертежа се вижда, че \(\angle BCL = \angle BCH + \angle HCL = 25^\circ + 12^\circ = 37^\circ\).
Тъй като \(CL\) е ъглополовяща на \(\angle C\), то \(\angle C = 2 \cdot \angle BCL = 2 \cdot 37^\circ = 74^\circ\).
Накрая, \(\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (65^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 139^\circ = 41^\circ\).
Отговор: \(\angle A = 41^\circ\), \(\angle C = 74^\circ\).
