77. Равнобедрен Триъгълник. Равностранен Триъгълник. Упражнение

Подготовка и анализ на чертежа

От условието знаем, че \( \triangle ABC \) е равностранен. Това означава, че всичките му страни са равни (\( AB = BC = AC \)) и всичките му ъгли са по \( 60^\circ \) (\( \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \)). Дадени са точки \( M \in AB \), \( N \in BC \) и \( Q \in AC \) такива, че \( AM = BN = CQ \).
Начертайте равностранен триъгълник ABC. Върху страната AB отбележете точка M близо до A. Върху страната BC отбележете точка N така, че BN да е равна на AM. Върху страната AC отбележете точка Q така, че CQ да е равна на AM. Свържете точките M, N и Q, за да се получи вътрешният триъгълник MNQ.

а) \( \triangle AMQ \cong \triangle BNM \)

Стъпка 1: Изразяване на страните

Нека означим страната на равностранния триъгълник с \( a \), т.е. \( AB = BC = AC = a \). От условието имаме \( AM = BN = CQ = x \). Тогава можем да изразим останалите части от страните: \( AQ = AC - CQ = a - x \) \( BM = AB - AM = a - x \) \( CN = BC - BN = a - x \) Следователно \( AQ = BM = CN \) (1).

Стъпка 2: Доказване на еднаквостта

Разглеждаме \( \triangle AMQ \) и \( \triangle BNM \): \[ \begin{array}{l|l} AM = BN & \text{по условие} \\ \angle A = \angle B = 60^\circ & \triangle ABC \text{ е равностранен} \\ AQ = BM & \text{от (1)} \end{array} \] Следователно \( \triangle AMQ \cong \triangle BNM \) по I признак (СЪС). От еднаквостта следва, че съответните им страни са равни: \( MQ = NM \) (2).

б) \( \angle AMQ + \angle BMN = 120^\circ \)

Стъпка 1: Използване на съответни ъгли

От еднаквостта на триъгълниците в подточка а) следва, че съответните им ъгли са равни. Нека означим \( \angle AQM = \angle BMN = \alpha \).

Стъпка 2: Изчисляване на сумата

В \( \triangle AMQ \) сборът на ъглите е \( 180^\circ \). Тогава: \( \angle AMQ = 180^\circ - (\angle MAQ + \angle AQM) \) \( \angle AMQ = 180^\circ - (60^\circ + \alpha) = 120^\circ - \alpha \) Сега събираме \( \angle AMQ \) и \( \angle BMN \): \( \angle AMQ + \angle BMN = (120^\circ - \alpha) + \alpha = 120^\circ - \cancel{\alpha} + \cancel{\alpha} = 120^\circ \). С това твърдението е доказано.

в) \( \triangle MNQ - равностранен \)

Стъпка 1: Намиране на ъгъл в \( \triangle MNQ \)

Точките \( A, M, B \) лежат на една права, затова \( \angle AMB = 180^\circ \). Ъгълът \( \angle QMN \) може да се изрази като: \( \angle QMN = 180^\circ - (\angle AMQ + \angle BMN) \) От подточка б) знаем, че \( \angle AMQ + \angle BMN = 120^\circ \). \( \angle QMN = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Стъпка 2: Заключение за вида на триъгълника

От подточка а) доказахме, че \( MQ = MN \) (от (2)), което означава, че \( \triangle MNQ \) е равнобедрен. Тъй като \( \triangle MNQ \) е равнобедрен с ъгъл от \( 60^\circ \) при върха \( M \), то той е равностранен. (Алтернативно, по същия начин като в а) може да се докаже, че \( \triangle AMQ \cong \triangle QNC \), откъдето \( MQ = QN \), и така и трите страни са равни).

а) \( AB=BC=AC=a \), \( AM=BN=CQ=x \Rightarrow AQ=BM=CN=a-x \). \( \triangle AMQ \cong \triangle BNM \) (I пр.): \( AM=BN=x \), \( \angle A=\angle B=60^\circ \), \( AQ=BM=a-x \). \( \Rightarrow MQ=MN \) и \( \angle AQM=\angle BMN=\alpha \). б) \( \angle AMQ = 180^\circ-(60^\circ+\alpha) = 120^\circ-\alpha \). \( \angle AMQ+\angle BMN = 120^\circ-\alpha+\alpha = 120^\circ \). в) \( \angle QMN = 180^\circ-120^\circ = 60^\circ \). \( MQ=MN, \angle QMN=60^\circ \Rightarrow \triangle MNQ \) е равностранен.