Най-важното от урока
Сравняване: Числото надясно на числовата ос е по-голямо. Пример: \(3 > -3\).
Връзка с разликата: \(a > b\) е същото като \(a - b > 0\). Пример: \(8 > 5\), защото \(8-5=3\), което е положително число.
Знаци: \(<\) (по-малко), \(>\) (по-голямо), \(\le\) (по-малко или равно), \(\ge\) (по-голямо или равно).
Определяне на знака: \(x > 0\) (положително), \(x < 0\) (отрицателно), \(x \ge 0\) (неотрицателно), \(x \le 0\) (неположително).
Двойни неравенства: Записът \(-4 < x \le 1\) означава, че \(x\) е между -4 и 1 (без -4, но с 1).
Връзка с разликата: \(a > b\) е същото като \(a - b > 0\). Пример: \(8 > 5\), защото \(8-5=3\), което е положително число.
Знаци: \(<\) (по-малко), \(>\) (по-голямо), \(\le\) (по-малко или равно), \(\ge\) (по-голямо или равно).
Определяне на знака: \(x > 0\) (положително), \(x < 0\) (отрицателно), \(x \ge 0\) (неотрицателно), \(x \le 0\) (неположително).
Двойни неравенства: Записът \(-4 < x \le 1\) означава, че \(x\) е между -4 и 1 (без -4, но с 1).
На числовата ос, всяко число, което е надясно от друго, е по-голямо от него. Всяко число, което е наляво от друго, е по-малко от него.
Числото \(7\) е надясно от \(1\), затова \(7 > 1\).
Числото \(-5\) е наляво от \(-2\), затова \(-5 < -2\).
Числото \(-5\) е наляво от \(-2\), затова \(-5 < -2\).
Сравнете числата \(-3\) и \(1\).
Отговор: \(-3 < 1\), защото на числовата ос \(-3\) се намира наляво от \(1\).
Връзката между две числа \(a\) и \(b\) може да се определи от знака на тяхната разлика \(a-b\).
- Ако \(a - b > 0\), то \(a > b\). (Разликата е положителна)
- Ако \(a - b < 0\), то \(a < b\). (Разликата е отрицателна)
- Ако \(a - b = 0\), то \(a = b\). (Разликата е нула)
Да сравним \(5\) и \(2\).
Разликата е \(5 - 2 = 3\). Тъй като \(3 > 0\), следва, че \(5 > 2\).
Да сравним \(2\) и \(7\).
Разликата е \(2 - 7 = -5\). Тъй като \(-5 < 0\), следва, че \(2 < 7\).
Разликата е \(5 - 2 = 3\). Тъй като \(3 > 0\), следва, че \(5 > 2\).
Да сравним \(2\) и \(7\).
Разликата е \(2 - 7 = -5\). Тъй като \(-5 < 0\), следва, че \(2 < 7\).
Като използвате правилото за разликата, сравнете числата \(-1\) и \(-8\).
Пресмятаме разликата: \(-1 - (-8) = -1 + 8 = 7\).
Тъй като \(7 > 0\), следва, че \(-1 > -8\).
Тъй като \(7 > 0\), следва, че \(-1 > -8\).
Строги неравенства: Използват знаците \(<\) (по-малко) и \(>\) (по-голямо).
Нестроги неравенства: Използват знаците \(\le\) (по-малко или равно) и \(\ge\) (по-голямо или равно).
Еднопосочни неравенства: Неравенства с еднакви знаци (напр. \(a > b\) и \(c > d\)).
Разнопосочни неравенства: Неравенства с различни знаци (напр. \(a > b\) и \(c < d\)).
Неравенствата \(x < 5\) и \(y \le 0\) са еднопосочни. Първото е строго, а второто е нестрого.
Неравенствата \(a \ge 1\) и \(b < 10\) са разнопосочни.
Неравенствата \(a \ge 1\) и \(b < 10\) са разнопосочни.
Определете вида на неравенството \(x \ge -4\).
Отговор: Това е нестрого неравенство.
Неравенствата се използват за определяне на знака на едно число.
- \(a > 0\) означава, че \(a\) е положително число.
- \(a < 0\) означава, че \(a\) е отрицателно число.
- \(a \ge 0\) означава, че \(a\) е неотрицателно число (положително или 0).
- \(a \le 0\) означава, че \(a\) е неположително число (отрицателно или 0).
Записът \(x \le 0\) означава, че числото \(x\) е неположително (може да бъде -5, -1, 0, но не и 2).
Как с неравенство ще запишете, че числото \(b\) е неотрицателно?
Отговор: \(b \ge 0\).
Двойното неравенство се използва, за да покаже, че едно число се намира между две други числа.
Записът \(a < x \le b\) се чете "\(x\) е по-голямо от \(a\) и е по-малко или равно на \(b\)" и означава, че са верни и двете неравенства: \(x > a\) и \(x \le b\).
Да намерим целите числа \(x\), за които е вярно \(-1 \le x < 3\).
Това са числата, които са по-големи или равни на -1 и същевременно по-малки от 3.
Решенията са: \(-1, 0, 1, 2\).
Това са числата, които са по-големи или равни на -1 и същевременно по-малки от 3.
Решенията са: \(-1, 0, 1, 2\).
Намерете целите числа \(y\), за които е вярно \(-5 < y \le -2\).
Отговор: \(-4, -3, -2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Запишете с числово неравенство твърдението: "Числото \(a\) е по-малко или равно на 5".
Отговор: \(a \le 5\).
Средна: Намерете целите отрицателни числа \(x\), за които е вярно неравенството \(x \ge -3\).
Търсим цели числа, които са отрицателни и същевременно по-големи или равни на -3.
Това са числата: \(-3, -2, -1\).
Това са числата: \(-3, -2, -1\).
Трудна: Дадено е, че \(a > 2a\). Положително или отрицателно е числото \(a\)? Обосновете се.
Използваме правилото за разликата: от \(a > 2a\) следва, че \(a - 2a > 0\).
\(a - 2a = -a\), следователно \(-a > 0\).
Ако \(-a\) е положително число, то самото число \(a\) трябва да е отрицателно.
Отговор: Числото \(a\) е отрицателно (\(a < 0\)).
\(a - 2a = -a\), следователно \(-a > 0\).
Ако \(-a\) е положително число, то самото число \(a\) трябва да е отрицателно.
Отговор: Числото \(a\) е отрицателно (\(a < 0\)).
