Най-важното от урока
Функция: Правило, което на всяко число-вход (\(x\)) от дадено множество съпоставя точно едно число-изход (\(y\)). Пример: \(y = 2x\).
Дефиниционно множество (ДМ): Всички възможни стойности за входа \(x\). Пример: за печалбата по месеци, ДМ е \(\{1, 2, ..., 12\}\).
Графика на функция: Може да бъде пресечена от вертикална права най-много в една точка. Окръжността не е графика на функция.
Дефиниционно множество (ДМ): Всички възможни стойности за входа \(x\). Пример: за печалбата по месеци, ДМ е \(\{1, 2, ..., 12\}\).
Графика на функция: Може да бъде пресечена от вертикална права най-много в една точка. Окръжността не е графика на функция.
Когато стойността на една величина зависи от стойността на друга, казваме, че съществува функционална зависимост. Независимата величина се нарича аргумент (обикновено \(x\)), а зависимата – функция (обикновено \(y\)).
Периметърът \(P\) на квадрат зависи от дължината на страната му \(a\). Тук аргументът е страната \(a\), а функцията е периметърът \(P\). Правилото е \(P = 4a\).
При движение с постоянна скорост от 80 км/ч, изминатият път \(S\) зависи от времето \(t\). Коя величина е аргументът и коя е функцията?
Отговор: Аргументът е времето \(t\), а функцията е изминатият път \(S\).
Една променлива \(y\) е функция на аргумента \(x\), ако съществува правило, по което на всяка стойност на \(x\) от дадено множество се съпоставя точно една стойност на \(y\).
Записваме: \( y = f(x) \), където \(f\) е правилото на съответствие.
Ако правилото е \(y = x + 5\), на стойност \(x = 3\) съответства точно една стойност \(y = 3 + 5 = 8\).
Дадено е правило, според което на \(x = 4\) съответстват две стойности: \(y = 2\) и \(y = -2\). Това правило описва ли функция?
Отговор: Не, защото на една стойност на аргумента (\(x=4\)) съответстват повече от една стойност на функцията, което противоречи на определението.
Дефиниционно множество (ДМ) или дефиниционна област на една функция се нарича множеството от всички възможни стойности(допустими стойности), които аргументът \(x\) може да приеме.
В примера с температурата на болния, тя се измерва от 6 до 24 часа. Следователно дефиниционното множество за времето \(t\) е интервалът \(t \in [6; 24]\).
В примера с печалбата на предприятието, тя се следи за всеки месец от годината. Какво е дефиниционното множество?
Отговор: Дефиниционното множество се състои от номерата на месеците: \(ДМ = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\).
Една крива е графика на функция, ако всяка права, успоредна на ординатната ос (\(Oy\)), я пресича най-много в една точка.
Тази крива не е графика на функция, защото вертикална права я пресича на повече от едно място. Това означава, че на една стойност на \(x\) отговарят няколко стойности на \(y\).
Графиката на окръжност функция ли е?
Отговор: Не, защото една вертикална права (с изключение на допирателните в двата края) пресича окръжността в две точки.
Задачи за упражнение
Лесна: Дадена е функцията \(y = 3x - 2\). Намерете стойността на функцията при \(x=4\).
Заместваме \(x\) с 4 в правилото:
\(y = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10\).
Отговор: \(y = 10\).
\(y = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10\).
Отговор: \(y = 10\).
Средна: Множеството от наредени двойки \(\{(1, 5), (2, 7), (3, 5), (4, 8)\}\) задава ли функция? Обосновете се.
Отговор: Да, задава функция. На всяка стойност на \(x\) (\(1, 2, 3, 4\)) съответства точно една стойност на \(y\). Няма значение, че за различни стойности на \(x\) (1 и 3) се получава една и съща стойност на \(y\) (5).
Трудна: Дефиниционното множество на функцията \(y = \frac{5}{x+3}\) включва всички реални числа, с изключение на едно. Кое е това число и защо?
Правилото на функцията включва деление. В математиката делението на нула е невъзможно. Знаменателят \(x+3\) става нула, когато \(x = -3\).
Отговор: Числото е -3, защото при него знаменателят става нула, а деление на нула не е дефинирано.
Отговор: Числото е -3, защото при него знаменателят става нула, а деление на нула не е дефинирано.
