Най-важното от урока
Класическа вероятност и противоположно събитие: \( P(A) = \frac{m}{n} \), където \( m \) се пресмята чрез комбинаторика (\( C_n^k, V_n^k, P_n \)). При търсене на вероятност за „поне един“ се прилага \( P(A) = 1 - P(\bar{A}) \).
Системи с две неизвестни: Линейните се решават чрез заместване или събиране (геометрично са прави линии). Системи от втора степен с едно линейно уравнение се решават чрез заместване, а при две уравнения от втора степен се търси унищожаване на вторите степени или разлагане на множители.
Квадратни неравенства: За \( ax^2 + bx + c \) при \( a > 0 \): изразът е отрицателен между корените при \( D > 0 \), а извън тях – положителен. При \( D < 0 \) е строго положителен за всяко \( x \).
Метод на интервалите: Неравенството се свежда до нула отдясно. Корените на знаменателя винаги се изключват. При преминаване през корен с нечетна кратност знакът се сменя, а при четна кратност се запазва.
Системи с две неизвестни: Линейните се решават чрез заместване или събиране (геометрично са прави линии). Системи от втора степен с едно линейно уравнение се решават чрез заместване, а при две уравнения от втора степен се търси унищожаване на вторите степени или разлагане на множители.
Квадратни неравенства: За \( ax^2 + bx + c \) при \( a > 0 \): изразът е отрицателен между корените при \( D > 0 \), а извън тях – положителен. При \( D < 0 \) е строго положителен за всяко \( x \).
Метод на интервалите: Неравенството се свежда до нула отдясно. Корените на знаменателя винаги се изключват. При преминаване през корен с нечетна кратност знакът се сменя, а при четна кратност се запазва.
Класическа вероятност на събитието \( A \) се нарича отношението на броя \( m \) на благоприятните за \( A \) елементарни събития към броя \( n \) на всички възможни, взаимно изключващи се и равновероятни елементарни събития.
\[ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\nu(A)}{\nu(\Omega)} = \frac{\text{брой благоприятни елементарни събития}}{\text{брой на всички елементарни събития}} \]
Основни свойства на вероятността:
- Вероятност на достоверно събитие (\(\Omega\)): \( P(\Omega) = 1 \)
- Вероятност на невъзможно събитие (\(\emptyset\)): \( P(\emptyset) = 0 \)
- За всяко случайно събитие \( A \): \( 0 \le P(A) \le 1 \)
Основни комбинаторни конфигурации без повторение:
- Пермутации: Подреждане на \( n \) елемента: \[ P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dotsm n \]
- Вариации: Наредени извадки от \( k \) елемента измежду \( n \): \[ V_n^k = n(n-1)(n-2)\dotsm(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]
- Комбинации: Ненаредени извадки от \( k \) елемента измежду \( n \): \[ C_n^k = \frac{V_n^k}{P_k} = \frac{n(n-1)\dotsm(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
В кутия има 4 бели и 6 черни топки (общо 10). Изваждат се 2 топки едновременно.
Общ брой изходи: \( n = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \).
Вероятност да се извадят 1 бяла и 1 черна топка: \( m = C_4^1 \cdot C_6^1 = 4 \cdot 6 = 24 \). \[ P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \]
Общ брой изходи: \( n = C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \).
Вероятност да се извадят 1 бяла и 1 черна топка: \( m = C_4^1 \cdot C_6^1 = 4 \cdot 6 = 24 \). \[ P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \]
От тесте с 32 карти се теглят случайно 2 карти. Каква е вероятността и двете да са аса?
Всички възможни начини за изтегляне на 2 карти са \( n = C_{32}^2 = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496 \).
Броят на асата в тестето е 4. Благоприятните начини за избор на 2 аса са \( m = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \). \[ P = \frac{m}{n} = \frac{6}{496} = \frac{3}{248} \]
Броят на асата в тестето е 4. Благоприятните начини за избор на 2 аса са \( m = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \). \[ P = \frac{m}{n} = \frac{6}{496} = \frac{3}{248} \]
Противоположно събитие на събитието \( A \) е събитието \( \bar{A} \), което се състои в това да не настъпи събитието \( A \). Тъй като \( A \cap \bar{A} = \emptyset \) и \( A \cup \bar{A} = \Omega \), то:
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \quad \Longleftrightarrow \quad P(A) = 1 - P(\bar{A}) \]
Формулата за противоположно събитие се използва винаги, когато събитието \( A \) съдържа формулировката „поне един“. Противоположното събитие на „поне един“ е „нито един“.
При хвърляне на два зара събитието \( B \) е „сборът от точките да е по-голям от 3“.
Противоположното събитие \( \bar{B} \) е „сборът да е по-малък или равен на 3“, т.е. двойките \( (1,1), (1,2), (2,1) \) – общо 3 изхода от 36. \[ P(\bar{B}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \implies P(B) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \]
Противоположното събитие \( \bar{B} \) е „сборът да е по-малък или равен на 3“, т.е. двойките \( (1,1), (1,2), (2,1) \) – общо 3 изхода от 36. \[ P(\bar{B}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \implies P(B) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \]
Вероятността стрелец да улучи мишена при един изстрел е \( 0{,}85 \). Каква е вероятността да не я улучи?
Нека \( A \) е събитието „стрелецът улучва“. Тогава \( P(A) = 0{,}85 \).
Противоположното събитие \( \bar{A} \) е „стрелецът не улучва“: \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15 \]
Противоположното събитие \( \bar{A} \) е „стрелецът не улучва“: \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15 \]
Система от две линейни уравнения с две неизвестни има общия вид:
\[
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
\]
1. Изразява се едното неизвестно чрез другото от едно от уравненията (напр. \( y = f(x) \)).
2. Полученият израз се замества във второто уравнение.
3. Решава се полученото линейно уравнение с едно неизвестно.
4. Намерената стойност се замества в първото изразено уравнение, за да се намери второто неизвестно.
2. Полученият израз се замества във второто уравнение.
3. Решава се полученото линейно уравнение с едно неизвестно.
4. Намерената стойност се замества в първото изразено уравнение, за да се намери второто неизвестно.
1. Умножават се уравненията с подходящи числа, така че коефициентите пред едно от неизвестните да станат противоположни числа.
2. Двете уравнения се събират почленно, с което се елиминира едното неизвестно.
3. Намира се неизвестното от полученото уравнение и стойността му се замества в което и да е от началните уравнения.
2. Двете уравнения се събират почленно, с което се елиминира едното неизвестно.
3. Намира се неизвестното от полученото уравнение и стойността му се замества в което и да е от началните уравнения.
Брой решения (геометричен смисъл):
Графиката на всяко линейно уравнение е права линия в координатната равнина.
- Правите се пресичат в една точка \( M(x_0; y_0) \) \(\implies\) точно едно решение (съвместима и определена система).
- Правите са успоредни (\( k_1 = k_2, b_1 \ne b_2 \)) \(\implies\) няма решение (несъвместима система, \( 0x = b \ne 0 \)).
- Правите съвпадат \(\implies\) безброй много решения (съвместима и неопределена система, \( 0x = 0 \)).
Решете системата:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 7 \\
3x - 2y = -9
\end{cases}
\]
Прилагаме метода на събирането: умножаваме първото уравнение по 2, а второто – по 3:
\[
\begin{cases}
4x + 6y = 14 \\
9x - 6y = -27
\end{cases}
\]
Събираме почленно: \( 13x = -13 \implies x = -1 \).
Заместваме \( x = -1 \) в първото уравнение: \( 2(-1) + 3y = 7 \implies 3y = 9 \implies y = 3 \).
Отговор: \( (-1; 3) \).
Заместваме \( x = -1 \) в първото уравнение: \( 2(-1) + 3y = 7 \implies 3y = 9 \implies y = 3 \).
Отговор: \( (-1; 3) \).
Уравнение от втора степен с две неизвестни има общ вид \( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \), където поне един от коефициентите \( a, b, c \) е различен от нула.
Винаги се решава чрез заместване: от линейното уравнение се изразява едната променлива и се замества във второто уравнение. Получава се квадратно уравнение, което може да има 2, 1 или 0 реални решения.
Използват се специални алгебрични похвати:
- Пропорционални коефициенти пред вторите степени: Чрез почленно умножение и събиране на уравненията вторите степени се унищожават и се получава ново линейно уравнение.
- Разлагане на множители: Ако едно от уравненията може да се разложи във вида \( (a_1x + b_1y + c_1)(a_2x + b_2y + c_2) = 0 \), то системата се разпада на обединение от две нови системи, всяка с едно линейно уравнение.
Система с разлагане:
\[
\begin{cases}
x^2 - 4y^2 = 0 \\
x^2 + 2xy = 12
\end{cases}
\implies (x - 2y)(x + 2y) = 0
\]
Разпада се на две системи: 1) при \( x = 2y \) и 2) при \( x = -2y \), като всяка се решава чрез заместване във второто уравнение.
Решете системата:
\[
\begin{cases}
x - y = 1 \\
x^2 + y^2 = 25
\end{cases}
\]
От първото уравнение: \( x = y + 1 \).
Заместваме във второто: \[ (y + 1)^2 + y^2 = 25 \implies y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 \implies 2y^2 + 2y - 24 = 0 \] Делим на 2: \( y^2 + y - 12 = 0 \implies y_1 = 3, \ y_2 = -4 \).
При \( y_1 = 3 \implies x_1 = 3 + 1 = 4 \).
При \( y_2 = -4 \implies x_2 = -4 + 1 = -3 \).
Отговор: \( (4; 3) \) и \( (-3; -4) \).
Заместваме във второто: \[ (y + 1)^2 + y^2 = 25 \implies y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 \implies 2y^2 + 2y - 24 = 0 \] Делим на 2: \( y^2 + y - 12 = 0 \implies y_1 = 3, \ y_2 = -4 \).
При \( y_1 = 3 \implies x_1 = 3 + 1 = 4 \).
При \( y_2 = -4 \implies x_2 = -4 + 1 = -3 \).
Отговор: \( (4; 3) \) и \( (-3; -4) \).
Неравенства от вида \( ax^2 + bx + c > 0 \), \( ax^2 + bx + c \ge 0 \), \( ax^2 + bx + c < 0 \) или \( ax^2 + bx + c \le 0 \) се наричат квадратни неравенства.
Ако коефициентът \( a < 0 \), умножаваме двете страни по \((-1)\) и задължително обръщаме посоката на неравенството, така че \( a > 0 \).
Знаци на квадратния тричлен при \( a > 0 \):
- При \( D > 0 \): Уравнението има два корена \( x_1 < x_2 \).
Тричленът е отрицателен между корените: \( x \in (x_1; x_2) \).
Тричленът е положителен извън корените: \( x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty) \). - При \( D = 0 \): Един двоен корен \( x_1 = x_2 = x_0 \). Параболата се допира до оста \( Ox \).
\( ax^2+bx+c \ge 0 \implies x \in (-\infty; +\infty) \)
\( ax^2+bx+c > 0 \implies x \ne x_0 \)
\( ax^2+bx+c \le 0 \implies x = x_0 \)
\( ax^2+bx+c < 0 \implies \emptyset \) - При \( D < 0 \): Няма реални корени. Параболата е изцяло над оста \( Ox \).
\( ax^2+bx+c > 0 \) и \( \ge 0 \implies x \in (-\infty; +\infty) \)
\( ax^2+bx+c < 0 \) и \( \le 0 \implies \emptyset \)
Всяко неравенство се решава самостоятелно, след което общото решение се получава като сечение (припокриване) на намерените интервали върху обща числова ос.
Решете неравенството: \( -x^2 + 5x - 6 \ge 0 \).
Умножаваме по \((-1)\) и сменяме знака:
\[ x^2 - 5x + 6 \le 0 \]
Намираме корените на \( x^2 - 5x + 6 = 0 \): \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \).
Тъй като търсим стойности \( \le 0 \), решението е затвореният интервал между корените:
Отговор: \( x \in [2; 3] \).
Тъй като търсим стойности \( \le 0 \), решението е затвореният интервал между корените:
Отговор: \( x \in [2; 3] \).
Дробни неравенства са неравенства, съдържащи неизвестно в знаменател, свеждащи се до вида \( \frac{F(x)}{G(x)} \gtrless 0 \).
1. Прехвърлят се всички членове от едната страна, така че от другата да остане 0.
2. Привежда се под общ знаменател до получаване на единична дроб.
3. Числителят и знаменателят се разлагат на линейни множители.
4. Определят се корените на числителя и знаменателя. Корените на знаменателя са недопустими стойности и винаги се изобразяват като кухи (изключени) точки.
5. Нанасят се корените върху числовата ос и се определя знакът във всеки интервал.
2. Привежда се под общ знаменател до получаване на единична дроб.
3. Числителят и знаменателят се разлагат на линейни множители.
4. Определят се корените на числителя и знаменателя. Корените на знаменателя са недопустими стойности и винаги се изобразяват като кухи (изключени) точки.
5. Нанасят се корените върху числовата ос и се определя знакът във всеки интервал.
Правило за кратност на корените:
- Нечетна кратност (множител на степен 1, 3, ...): При преминаване през корена знакът на израза се сменя.
- Четна кратност (множител на степен 2, 4, ...): При преминаване през корена знакът на израза се запазва.
Решете неравенството: \( \frac{x - 2}{x + 3} \le 0 \).
Корен на числителя: \( x = 2 \) (включва се заради знака \( \le \)).
Корен на знаменателя: \( x = -3 \) (изключва се: ДС \( x \ne -3 \)).
Интервали: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 2] \), \( [2; +\infty) \).
Знакът в най-десния интервал е \( + \). При преминаване през 2 и -3 знакът се редува: \( + \), \( - \), \( + \).
Отговор: \( x \in (-3; 2] \).
Корен на знаменателя: \( x = -3 \) (изключва се: ДС \( x \ne -3 \)).
Интервали: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 2] \), \( [2; +\infty) \).
Знакът в най-десния интервал е \( + \). При преминаване през 2 и -3 знакът се редува: \( + \), \( - \), \( + \).
Отговор: \( x \in (-3; 2] \).
Задачи за упражнение
Задача 1 (Лесна): Хвърля се правилен шестостенен зар. Каква е вероятността да не се падне число, кратно на 3?
Всички възможни изходи са \( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \implies n = 6 \).
Числата, кратни на 3, са \( \{3, 6\} \). Броят им е 2.
Вероятността да се падне кратно на 3 е \( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
Използваме формулата за противоположно събитие: \[ P(\text{не е кратно на 3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Отговор: \( \frac{2}{3} \).
Числата, кратни на 3, са \( \{3, 6\} \). Броят им е 2.
Вероятността да се падне кратно на 3 е \( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
Използваме формулата за противоположно събитие: \[ P(\text{не е кратно на 3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Отговор: \( \frac{2}{3} \).
Задача 2 (Средна): Решете системата от квадратни неравенства:
\[
\begin{cases}
x^2 - 4x - 5 < 0 \\
x^2 - 4 \ge 0
\end{cases}
\]
1. За първото неравенство \( x^2 - 4x - 5 < 0 \):
Корените на тричлена са \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 5 \).
Решение: \( x \in (-1; 5) \).
2. За второто неравенство \( x^2 - 4 \ge 0 \):
Корените са \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \).
Решение: \( x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \).
3. Пресичаме двете решения: \[ (-1; 5) \cap \bigl((-\infty; -2] \cup [2; +\infty)\bigr) = [2; 5) \] Отговор: \( x \in [2; 5) \).
Корените на тричлена са \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 5 \).
Решение: \( x \in (-1; 5) \).
2. За второто неравенство \( x^2 - 4 \ge 0 \):
Корените са \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \).
Решение: \( x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \).
3. Пресичаме двете решения: \[ (-1; 5) \cap \bigl((-\infty; -2] \cup [2; +\infty)\bigr) = [2; 5) \] Отговор: \( x \in [2; 5) \).
Задача 3 (Средна): Решете системата уравнения:
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \\
x^2 - 2xy + y^2 = 1
\end{cases}
\]
Второто уравнение представлява формула за съкратено умножение:
\[ (x - y)^2 = 1 \implies x - y = 1 \quad \text{или} \quad x - y = -1 \]
Системата се разпада на две независими линейни системи:
1) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \ y = 2 \)
2) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -1 \end{cases} \implies 2x = 4 \implies x = 2, \ y = 3 \)
Отговор: \( (3; 2) \) и \( (2; 3) \).
1) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies 2x = 6 \implies x = 3, \ y = 2 \)
2) \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = -1 \end{cases} \implies 2x = 4 \implies x = 2, \ y = 3 \)
Отговор: \( (3; 2) \) и \( (2; 3) \).
Задача 4 (Трудна): Решете дробното неравенство:
\[
\frac{(x - 1)^2(x + 4)}{x - 2} \le 0
\]
Определяме критичните точки:
Отговор: \( x \in [-4; 2) \).
- \( x = -4 \) (корен на числителя от 1-ва степен, нечетна кратност – знакът се сменя, точката е плътна)
- \( x = 1 \) (корен на числителя от 2-ра степен, четна кратност – знакът се запазва, точката е плътна)
- \( x = 2 \) (корен на знаменателя, куха точка: \( x \ne 2 \))
- За \( x > 2 \): знакът е \( + \)
- За \( x \in (1; 2) \): знакът е \( - \)
- За \( x \in (-4; 1) \): около \( x = 1 \) знакът се запазва, следователно остава \( - \)
- За \( x < -4 \): около \( x = -4 \) знакът се сменя на \( + \)
Отговор: \( x \in [-4; 2) \).
