Най-важното от урока
Ако два триъгълника са подобни с коефициент на подобие \(k\), то отношението на всички техни съответни линейни елементи (страни, височини, медиани, ъглополовящи, радиуси на вписани и описани окръжности) също е равно на \(k\).
Например, ако \(\frac{\text{страна 1}}{\text{страна 2}} = k\), то и \(\frac{\text{височина 1}}{\text{височина 2}} = k\), \(\frac{\text{медиана 1}}{\text{медиана 2}} = k\) и т.н.
Например, ако \(\frac{\text{страна 1}}{\text{страна 2}} = k\), то и \(\frac{\text{височина 1}}{\text{височина 2}} = k\), \(\frac{\text{медиана 1}}{\text{медиана 2}} = k\) и т.н.
Отношението на съответните височини в два подобни триъгълника е равно на отношението на съответните им страни (коефициента на подобие).
Ако \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(h_c\), \(h_{c_1}\) са съответни височини:
\[ \frac{h_c}{h_{c_1}} = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k \]
Дадени са \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Ако страната \(AB = 12\) см, съответната ѝ страна \(A_1B_1 = 8\) см, а височината към \(AB\) е \(h_c = 9\) см, то можем да намерим височината \(h_{c_1}\).
\(\frac{h_c}{h_{c_1}} = \frac{AB}{A_1B_1} \Rightarrow \frac{9}{h_{c_1}} = \frac{12}{8} \Rightarrow h_{c_1} = \frac{9 \cdot 8}{12} = 6\) см.
\(\frac{h_c}{h_{c_1}} = \frac{AB}{A_1B_1} \Rightarrow \frac{9}{h_{c_1}} = \frac{12}{8} \Rightarrow h_{c_1} = \frac{9 \cdot 8}{12} = 6\) см.
Два подобни триъгълника имат коефициент на подобие \(k=3\). Ако височината в по-малкия триъгълник е 5 см, колко е съответната височина в по-големия?
Нека \(h\) е височината в по-големия триъгълник, а \(h_1=5\) см е тази в по-малкия.
\(\frac{h}{h_1} = k \Rightarrow \frac{h}{5} = 3 \Rightarrow h = 15\) см.
\(\frac{h}{h_1} = k \Rightarrow \frac{h}{5} = 3 \Rightarrow h = 15\) см.
Отношението на съответните ъглополовящи в два подобни триъгълника е равно на отношението на съответните им страни.
Ако \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(l_c\), \(l_{c_1}\) са съответни ъглополовящи:
\[ \frac{l_c}{l_{c_1}} = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k \]
Дадени са \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Ако страната \(BC = 15\) см, съответната ѝ страна \(B_1C_1 = 10\) см, а ъглополовящата \(l_a = 12\) см, то съответната ъглополовяща \(l_{a_1}\) е:
\(\frac{l_a}{l_{a_1}} = \frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \frac{12}{l_{a_1}} = \frac{15}{10} \Rightarrow l_{a_1} = \frac{12 \cdot 10}{15} = 8\) см.
\(\frac{l_a}{l_{a_1}} = \frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \frac{12}{l_{a_1}} = \frac{15}{10} \Rightarrow l_{a_1} = \frac{12 \cdot 10}{15} = 8\) см.
В \(\triangle ABC\), \(AC = 9\) см, а ъглополовящата \(l_b = 6\) см. В подобния на него \(\triangle A_1B_1C_1\), страната \(A_1C_1 = 12\) см. Намерете \(l_{b_1}\).
\(\frac{l_{b_1}}{l_b} = \frac{A_1C_1}{AC} \Rightarrow \frac{l_{b_1}}{6} = \frac{12}{9} \Rightarrow l_{b_1} = \frac{6 \cdot 12}{9} = 8\) см.
Отношението на съответните медиани в два подобни триъгълника е равно на отношението на съответните им страни.
Ако \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(m_c\), \(m_{c_1}\) са съответни медиани:
\[ \frac{m_c}{m_{c_1}} = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k \]
Дадени са \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Ако медианата \(m_a = 10\) см, съответната ѝ медиана \(m_{a_1} = 8\) см, а страната \(c = 15\) см, то съответната страна \(c_1\) е:
\(\frac{c}{c_1} = \frac{m_a}{m_{a_1}} \Rightarrow \frac{15}{c_1} = \frac{10}{8} \Rightarrow c_1 = \frac{15 \cdot 8}{10} = 12\) см.
\(\frac{c}{c_1} = \frac{m_a}{m_{a_1}} \Rightarrow \frac{15}{c_1} = \frac{10}{8} \Rightarrow c_1 = \frac{15 \cdot 8}{10} = 12\) см.
Два подобни триъгълника имат съответни страни 7 см и 14 см. Ако медианата към по-голямата страна е 10 см, колко е медианата към по-малката?
Коефициентът на подобие е \(k = \frac{14}{7} = 2\). Нека \(m_1\) е търсената медиана.
\(\frac{10}{m_1} = 2 \Rightarrow m_1 = 5\) см.
\(\frac{10}{m_1} = 2 \Rightarrow m_1 = 5\) см.
Отношението на радиусите на вписаните (или описаните) окръжности в два подобни триъгълника е равно на отношението на съответните им страни.
Ако \(r, r_1\) са радиусите на вписаните, а \(R, R_1\) на описаните окръжности:
\[ \frac{r}{r_1} = k \quad \text{и} \quad \frac{R}{R_1} = k \]
\(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) със страни \(AB=10\) и \(A_1B_1=15\). Ако радиусът на вписаната в \(\triangle ABC\) окръжност е \(r=3\) см, то радиусът на вписаната в \(\triangle A_1B_1C_1\) окръжност \(r_1\) е:
\(\frac{r_1}{r} = \frac{A_1B_1}{AB} \Rightarrow \frac{r_1}{3} = \frac{15}{10} \Rightarrow r_1 = \frac{3 \cdot 15}{10} = 4.5\) см.
\(\frac{r_1}{r} = \frac{A_1B_1}{AB} \Rightarrow \frac{r_1}{3} = \frac{15}{10} \Rightarrow r_1 = \frac{3 \cdot 15}{10} = 4.5\) см.
Радиусът на описаната окръжност около \(\triangle ABC\) е \(R=12\) см. Подобен на него триъгълник \(\triangle A_1B_1C_1\) има радиус на описаната окръжност \(R_1=8\) см. Намерете отношението \(\frac{BC}{B_1C_1}\).
Отношението на страните е равно на отношението на радиусите:
\(\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{R}{R_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
\(\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{R}{R_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Основите на два подобни триъгълника са 21 см и 6 см, а височината към по-голямата основа е 7 см. Намерете височината към по-малката основа.
Нека основите са \(c=21\) и \(c_1=6\), а височините \(h_c=7\) и \(h_{c_1}\).
\(\frac{h_{c_1}}{h_c} = \frac{c_1}{c} \Rightarrow \frac{h_{c_1}}{7} = \frac{6}{21}\)
\(h_{c_1} = \frac{7 \cdot 6}{21} = \frac{42}{21} = 2\) см.
\(\frac{h_{c_1}}{h_c} = \frac{c_1}{c} \Rightarrow \frac{h_{c_1}}{7} = \frac{6}{21}\)
\(h_{c_1} = \frac{7 \cdot 6}{21} = \frac{42}{21} = 2\) см.
Средна: Дадено е, че \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\). Страните \(AC = 16\) см и \(A_1C_1 = 12\) см. Ако медианата \(m_b = 10\) см, намерете дължината на медианата \(m_{b_1}\).
Отношението на медианите е равно на отношението на съответните страни.
\(\frac{m_{b_1}}{m_b} = \frac{A_1C_1}{AC} \Rightarrow \frac{m_{b_1}}{10} = \frac{12}{16}\)
\(m_{b_1} = \frac{10 \cdot 12}{16} = \frac{120}{16} = 7.5\) см.
\(\frac{m_{b_1}}{m_b} = \frac{A_1C_1}{AC} \Rightarrow \frac{m_{b_1}}{10} = \frac{12}{16}\)
\(m_{b_1} = \frac{10 \cdot 12}{16} = \frac{120}{16} = 7.5\) см.
Трудна: Сборът от дължините на две съответни ъглополовящи в подобни триъгълници е 28 см, а коефициентът на подобие е \(k=3\). Намерете дължините на двете ъглополовящи.
Нека ъглополовящите са \(l\) и \(l_1\), като \(l\) е в по-големия триъгълник.
Дадено е: \(l + l_1 = 28\) и \(\frac{l}{l_1} = k = 3\).
От второто уравнение изразяваме \(l = 3l_1\).
Заместваме в първото: \(3l_1 + l_1 = 28 \Rightarrow 4l_1 = 28 \Rightarrow l_1 = 7\) см.
Тогава \(l = 3 \cdot 7 = 21\) см.
Дължините са 7 см и 21 см.
Дадено е: \(l + l_1 = 28\) и \(\frac{l}{l_1} = k = 3\).
От второто уравнение изразяваме \(l = 3l_1\).
Заместваме в първото: \(3l_1 + l_1 = 28 \Rightarrow 4l_1 = 28 \Rightarrow l_1 = 7\) см.
Тогава \(l = 3 \cdot 7 = 21\) см.
Дължините са 7 см и 21 см.
