Най-важното от урока
Основна формула: \(P(A) = \frac{\text{благоприятни}}{\text{всички}}\). Пример: Вероятността за ези при монета е \(\frac{1}{2}\).
Противоположно събитие: \(P(\text{не } A) = 1 - P(A)\). Пример: Ако \(P(\text{победа}) = 0.7\), то \(P(\text{не-победа}) = 0.3\).
Събитие "ИЛИ" (Обединение): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Пример (хвърляне на зар): \(P(\text{четно или >4}) = P(\text{четно}) + P(>4) - P(\text{четно и >4}) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\).
Събитие "И" (Сечение): Вероятността двете събития да се случат едновременно. Пример (два зара): \(P(\text{6 на първия и 6 на втория}) = \frac{1}{36}\).
Противоположно събитие: \(P(\text{не } A) = 1 - P(A)\). Пример: Ако \(P(\text{победа}) = 0.7\), то \(P(\text{не-победа}) = 0.3\).
Събитие "ИЛИ" (Обединение): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Пример (хвърляне на зар): \(P(\text{четно или >4}) = P(\text{четно}) + P(>4) - P(\text{четно и >4}) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\).
Събитие "И" (Сечение): Вероятността двете събития да се случат едновременно. Пример (два зара): \(P(\text{6 на първия и 6 на втория}) = \frac{1}{36}\).
Вероятността на дадено събитие е отношението (делението) на броя на благоприятните изходи към броя на всички възможни изходи.
\[ P(A) = \frac{\text{брой благоприятни изходи}}{\text{брой на всички възможни изходи}} = \frac{m}{n} \]
Вероятността е винаги число между 0 и 1.
- \(P(A) = 0\) означава, че събитието е невъзможно.
- \(P(A) = 1\) означава, че събитието е достоверно (сигурно).
При хвърляне на стандартен зар има 6 възможни изхода \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), следователно \(n=6\). Вероятността да се падне числото 4 е \(P(4) = \frac{1}{6}\), защото има само един благоприятен изход (\(m=1\)).
В една кутия има 7 червени и 3 сини топки. Каква е вероятността при случайно изтегляне на една топка, тя да е синя?
Общият брой топки (всички възможни изходи) е \(n = 7 + 3 = 10\).
Броят на сините топки (благоприятни изходи) е \(m = 3\).
Вероятността е \(P(\text{синя топка}) = \frac{3}{10}\).
Броят на сините топки (благоприятни изходи) е \(m = 3\).
Вероятността е \(P(\text{синя топка}) = \frac{3}{10}\).
Противоположното събитие \(\overline{A}\) настъпва тогава, когато събитие \(A\) не настъпва.
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]
Вероятността събитието да не се случи е 1 минус вероятността то да се случи.
Нека \(A\) е събитието "изтеглени са поне 1 дама" от тесте с 32 карти при теглене на 3. Противоположното събитие \(\overline{A}\) е "нито 1 дама не е изтеглена". Ако знаем, че \(P(\overline{A}) = \frac{819}{1240}\), то вероятността за \(A\) е:
\[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{819}{1240} = \frac{421}{1240} \]
Вероятността утре да вали е \(P(\text{дъжд}) = 0.4\). Каква е вероятността да не вали?
\(P(\text{няма да вали}) = 1 - P(\text{дъжд}) = 1 - 0.4 = 0.6\).
Обединението \(A \cup B\) настъпва, когато настъпи поне едно от събитията \(A\) или \(B\). Често се чете като "А или B".
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Ако събитията са несъвместими (не могат да се случат едновременно), то \(P(A \cap B) = 0\) и формулата е \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
При хвърляне на два зара, нека \(A\) е "5 на първия зар" (\(P(A) = 6/36\)) и \(B\) е "5 на втория зар" (\(P(B)=6/36\)). Събитието "поне една петица" е \(A \cup B\). Вероятността е:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36} \]
(Изваждаме \(P(A \cap B)\), защото случаят (5,5) е броен и при \(A\), и при \(B\)).
Каква е вероятността при теглене на карта от тесте с 32 карти тя да е асо или поп?
Събитията "изтеглено асо" (А) и "изтеглен поп" (П) са несъвместими.
\(P(A) = 4/32\), \(P(П) = 4/32\).
\(P(A \cup П) = P(A) + P(П) = \frac{4}{32} + \frac{4}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\).
\(P(A) = 4/32\), \(P(П) = 4/32\).
\(P(A \cup П) = P(A) + P(П) = \frac{4}{32} + \frac{4}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\).
Сечението \(A \cap B\) настъпва, когато настъпят едновременно и двете събития \(A\) и \(B\). Често се чете като "А и B".
При хвърляне на два зара, събитието "и на двата зара се падат петици" е сечението на \(A\="5 на първия зар"\) и \(B\="5 на втория зар"\). Единственият благоприятен изход е \((5,5)\) от общо 36.
\[ P(A \cap B) = \frac{1}{36} \]
Каква е вероятността при теглене на карта от тесте с 32 карти тя да е едновременно "червена" (купа или каро) и "дама"?
Има две карти, които са едновременно червени и дами: дама купа и дама каро.
Общият брой карти е 32.
Вероятността е \(P(\text{червена и дама}) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\).
Общият брой карти е 32.
Вероятността е \(P(\text{червена и дама}) = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Хвърляме стандартен зар. Каква е вероятността да се падне четно число?
Всички възможни изходи са 6. Благоприятните изходи (четни числа) са 3 (2, 4, 6).
Вероятността е \(P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Вероятността е \(P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Средна: Хвърляме два зара. Каква е вероятността сборът от точките им да е по-голям от 9?
Общият брой изходи е \(6 \times 6 = 36\).
Благоприятните изходи са тези със сбор 10, 11 или 12:
Вероятността е \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Благоприятните изходи са тези със сбор 10, 11 или 12:
- Сбор 10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3 изхода
- Сбор 11: (5,6), (6,5) - 2 изхода
- Сбор 12: (6,6) - 1 изход
Вероятността е \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Трудна: От тесте с 32 карти се теглят 2 карти една след друга без връщане. Каква е вероятността и двете да са попове?
Можем да решим задачата с комбинации или с последователни вероятности.
Метод 1: Комбинации
Общ брой начини да изтеглим 2 карти от 32: \(C_{32}^2 = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496\).
Брой начини да изтеглим 2 попа от 4-те попа в тестето: \(C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\).
Вероятност: \(P = \frac{6}{496} = \frac{3}{248}\).
Метод 2: Последователни вероятности
Вероятността първата карта да е поп е \(\frac{4}{32}\).
След като сме изтеглили един поп, в тестето остават 31 карти, от които 3 са попове. Вероятността втората карта също да е поп е \(\frac{3}{31}\).
Общата вероятност е произведението: \(P = \frac{4}{32} \cdot \frac{3}{31} = \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{31} = \frac{3}{248}\).
Метод 1: Комбинации
Общ брой начини да изтеглим 2 карти от 32: \(C_{32}^2 = \frac{32 \cdot 31}{2} = 496\).
Брой начини да изтеглим 2 попа от 4-те попа в тестето: \(C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\).
Вероятност: \(P = \frac{6}{496} = \frac{3}{248}\).
Метод 2: Последователни вероятности
Вероятността първата карта да е поп е \(\frac{4}{32}\).
След като сме изтеглили един поп, в тестето остават 31 карти, от които 3 са попове. Вероятността втората карта също да е поп е \(\frac{3}{31}\).
Общата вероятност е произведението: \(P = \frac{4}{32} \cdot \frac{3}{31} = \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{31} = \frac{3}{248}\).
