Най-важното от урока
Основна стратегия: Системи с едно линейно и едно квадратно уравнение се решават чрез заместване.
Стъпки:
Стъпки:
- Изразете едната променлива от линейното уравнение (напр. \( y = x+1 \)).
- Заместете в квадратното уравнение (напр. \( x^2 + (x+1)^2 = 25 \)).
- Решете полученото квадратно уравнение (напр. \( 2x^2 + 2x - 24 = 0 \)).
- Намерете стойностите на другата променлива (напр. ако \(x=3\), то \(y=3+1=4\)).
Уравнение от вида \( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \), където \(a, b, c, d, e, f\) са числа и поне едно от \(a, b, c\) е различно от нула, се нарича уравнение от втора степен с две неизвестни.
Решенията на такова уравнение са всички наредени двойки числа \((x; y)\), които го удовлетворяват. Обикновено те са безброй много.
Да разгледаме уравнението \( x^2 - 3y = 5 \).
Ако изберем \(x=2\), получаваме \( 2^2 - 3y = 5 \implies 4 - 3y = 5 \implies -3y = 1 \implies y = -\frac{1}{3} \).
Следователно наредената двойка \((2; -\frac{1}{3})\) е едно от решенията на уравнението.
Проверете дали двойката числа \((4; 1)\) е решение на уравнението \( xy + x = 8 \).
Заместваме \(x=4\) и \(y=1\) в уравнението:
\[ 4 \cdot 1 + 4 = 4 + 4 = 8 \]
Тъй като \(8=8\), равенството е вярно. Двойката \((4; 1)\) е решение.
Когато търсим общите решения на две уравнения с две неизвестни, от които поне едното е от втора степен, казваме, че решаваме система уравнения от втора степен.
Най-често се разглеждат системи, в които едното уравнение е от първа степен, а другото – от втора.
Пример за такава система е:
\[ \begin{array}{|l} x^2 + y^2 = 25 \quad \text{(уравнение от втора степен)} \\ x - y = 1 \quad \text{(уравнение от първа степен)} \end{array} \]
Решенията на тази система са наредените двойки \((-3; -4)\) и \((4; 3)\), защото те удовлетворяват и двете уравнения едновременно.
Проверете дали \((1; 2)\) е решение на системата: \( \begin{array}{|l} 5x - y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{array} \)
Проверяваме за първото уравнение: \( 5(1) - 2 = 5 - 2 = 3 \). Вярно.
Проверяваме за второто уравнение: \( 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \). Вярно.
Тъй като двойката \((1; 2)\) удовлетворява и двете уравнения, тя е решение на системата.
Проверяваме за второто уравнение: \( 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \). Вярно.
Тъй като двойката \((1; 2)\) удовлетворява и двете уравнения, тя е решение на системата.
Система, в която едното уравнение е от първа степен, а другото от втора, се решава най-лесно чрез метода на заместване.
От уравнението от първа степен изразете едното неизвестно чрез другото.
Заместете получения израз в уравнението от втора степен. Така ще получите квадратно уравнение само с едно неизвестно.
Решете полученото квадратно уравнение. То може да има 0, 1 или 2 решения.
За всяка намерена стойност от стъпка 3, намерете съответната стойност на другото неизвестно, като използвате израза от стъпка 1.
Да решим системата: \( \begin{array}{|l} x^2 + y^2 = 13 \\ x - y = 5 \end{array} \)
Стъпка 1: От второто уравнение изразяваме \(x \implies x = 5 + y\).
Стъпка 2: Заместваме в първото уравнение: \( (5 + y)^2 + y^2 = 13 \).
Стъпка 3: Решаваме квадратното уравнение:
\( 25 + 10y + y^2 + y^2 = 13 \)
\( 2y^2 + 10y + 12 = 0 \quad | :2 \)
\( y^2 + 5y + 6 = 0 \)
Корените са \( y_1 = -2 \) и \( y_2 = -3 \).
Стъпка 4: Намираме съответните стойности за \(x\) от \(x = 5 + y\):
Ако \( y_1 = -2 \), то \( x_1 = 5 + (-2) = 3 \).
Ако \( y_2 = -3 \), то \( x_2 = 5 + (-3) = 2 \).
Решенията са две наредени двойки: \((3; -2)\) и \((2; -3)\).
Стъпка 1: От второто уравнение изразяваме \(x \implies x = 5 + y\).
Стъпка 2: Заместваме в първото уравнение: \( (5 + y)^2 + y^2 = 13 \).
Стъпка 3: Решаваме квадратното уравнение:
\( 25 + 10y + y^2 + y^2 = 13 \)
\( 2y^2 + 10y + 12 = 0 \quad | :2 \)
\( y^2 + 5y + 6 = 0 \)
Корените са \( y_1 = -2 \) и \( y_2 = -3 \).
Стъпка 4: Намираме съответните стойности за \(x\) от \(x = 5 + y\):
Ако \( y_1 = -2 \), то \( x_1 = 5 + (-2) = 3 \).
Ако \( y_2 = -3 \), то \( x_2 = 5 + (-3) = 2 \).
Решенията са две наредени двойки: \((3; -2)\) и \((2; -3)\).
Решете първата стъпка от решаването на системата \( \begin{array}{|l} x + 2y = 3 \\ x^2 - xy = 0 \end{array} \) чрез заместване.
От първото уравнение изразяваме \( x = 3 - 2y \). След това заместваме във второто:
\[ (3 - 2y)^2 - (3 - 2y)y = 0 \]
Задачи за упражнение
Лесна: Решете системата:
\[ \begin{array}{|l} y = x+1 \\ xy = 6 \end{array} \]
Заместваме \(y\) от първото уравнение във второто:
\[ x(x+1) = 6 \]
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Корените на квадратното уравнение са \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -3 \).
Намираме съответните стойности за \(y\):
За \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 2+1 = 3 \).
За \( x_2 = -3 \), \( y_2 = -3+1 = -2 \).
Отговор: Решенията са \((2; 3)\) и \((-3; -2)\).
Средна: Решете системата:
\[ \begin{array}{|l} x + y = 7 \\ xy = 12 \end{array} \]
От първото уравнение изразяваме \( y = 7 - x \).
Заместваме във второто:
\[ x(7-x) = 12 \]
\[ 7x - x^2 = 12 \]
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
Корените на квадратното уравнение са \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 4 \).
Намираме съответните стойности за \(y\):
За \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 7-3 = 4 \).
За \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 7-4 = 3 \).
Отговор: Решенията са \((3; 4)\) и \((4; 3)\).
Трудна: Периметърът на правоъгълник е 26 см, а лицето му е 40 см2. Намерете дължините на страните му.
Нека страните на правоъгълника са \(x\) и \(y\).
Периметър: \( 2x + 2y = 26 \implies x + y = 13 \).
Лице: \( xy = 40 \).
Получаваме системата:
\[ \begin{array}{|l} x + y = 13 \\ xy = 40 \end{array} \]
От първото уравнение: \( y = 13 - x \).
Заместваме във второто: \( x(13 - x) = 40 \implies 13x - x^2 = 40 \implies x^2 - 13x + 40 = 0 \).
Корените са \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 8 \).
Ако \(x=5\), то \(y=8\). Ако \(x=8\), то \(y=5\).
Отговор: Страните на правоъгълника са 5 см и 8 см.
